Kan du godta at brøken 1/3 er det samme som 0,333… med uendelig mange desimaler? I så fall tenker du likt som de aller fleste mennesker.

Men mange synes det er vanskeligere å godta denne logikken når det er snakk om heltall, som for eksempel tallet 1.

For er 0,999… med uendelig mange desimaler mindre enn 1 eller lik 1?

De fleste mener intuitivt at tallet 0,999… er mindre enn 1, og holder fast på det selv om matematikklæreren deres forteller dem det motsatte, forteller førsteamanuensis Lars Reinholdtsen som underviser lærerstudenter ved Høgskolen i Oslo og Akershus.

– De fleste lærerstudentene har samme oppfatning som folk flest om dette dilemmaet, sier Reinholdtsen.

Men matematikklæreren deres vil antagelig si at oppfatningen om at 0,999… er mindre enn 1, er feil.

Tallet 0,999… er nemlig lik 1. I hvert fall ifølge vanlig algebra.

Vanskelig å gi slipp på intuisjonen

Det finnes flere teorier om hvorfor lærerstudentene tolker 0,999… som mindre enn 1.

– En grunn kan være at de ser på dette uendelige desimaltallet som noe som ikke har en bestemt posisjon på tallinja, men som er på vei mot tallet 1, slik at det aldri blir nøyaktig likt, forteller Reinholdtsen.

Blant de som jobber med hvordan vi lærer matematikk, er det vanlig å skille mellom definisjonen på et begrep og hva vi assosierer med det.

Erfaringene og assosiasjonene vi har med et begrep kalles et begrepsbilde. Dette bildet kan ofte stå i veien for forståelsen.

– Selv om man kjenner til den formelle definisjonen, baserer man seg ofte på begrepsbildet. Dette er nok langt vanligere enn hva matematikere ofte tror, forteller Reinholdtsen.

• Les også: Det er vanskeligere for kvinner å komme seg opp og fram i matematikken

0,333… og en tredel

Reinholdtsen presenterte en gruppe lærerstudenter for et dilemma i sitt første studieår, for å teste forståelsen deres av tallet 0,999….

Dilemmaet var fra en ungdomsskoleelev som mente matematikk var selvmotsigende. Elevens argument består av fire påstander:

Det starter med at 1/3 = 0,333…,

mens 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1,

Videre er 0,333… + 0,333… + 0,333… = 0,999…,

men siden 0,999… er mindre enn 1,

så har vi en selvmotsigelse.

– Lærerstudentene klarte ikke å løse dette dilemmaet. I to ulike klasser var det interessante forskjeller på hvor villige de var til å akseptere mitt forsøk på oppklaring av situasjonen, sier Reinholdtsen.

• Les også: Etter 80 års dvale rører primtallene på seg

Kan forklares med likninger

En matematikklærer vil gjerne argumentere for at 0,999… er lik 1 ved hjelp av likninger.

– Men disse likningene forutsetter et formelt matematikksystem som ligger i større avstand fra den uformelle forståelsen enn det mange er klar over, forklarer Reinholdtsen.

Så det gjelder å holde tunga rett i munnen. For her kommer likningene:

Først setter vi opp likningen x = 0,999…

Deretter ganger vi begge sider med ti og får 10x = 9,999….

Nå har vi to likninger som begge beskriver den ukjente x.

Det vi kan gjøre nå er å slå sammen de to likningene ved å trekke tallene på hver side av likhetstegnene fra hverandre.

Da får vi 10x – x = 9,999… -0,999…

som igjen bli 9x = 9.

Deler vi så begge sider av likningen med tallet ni, blir svaret x = 1.

Altså er 0,999… lik 1.

Reinholdtsen forklarer at dette regnestykket baserer seg på vanlige regler innen algebra. Men at det finnes mer avansert matematikk som støtter den folkelige forståelsen av 0,999… som mindre enn 1.

– Skal man operere med en matematikk der 0,999… ikke er lik en, så blir matematikken så komplisert at det hører til på et avansert matematikkurs på universitetsnivå.

• Les også: Matematikk: Det guddommelige språket

Samme tall kan skrives på forskjellige måter

Mens den ene klassen med lærerstudenter til slutt aksepterte at 0,999… er lik 1, forble den andre langt mer skeptisk.

Den skeptiske klassen mente at de hadde funnet en løsning på dilemmaet fra eleven selv. De mente nemlig at påstanden 1/3 = 0,333… var nødt til å være en tilnærming.

– Denne klassen hadde ikke samme behov for mine forsøk på oppklaringer, fordi de allerede hadde sin egen forklaring.

Reinholdtsen prøvde forskjellige argumenter for å overbevise dem om at det finnes en alternativ forklaring. Argumentet som fungerte best var at samme tall kan skrives på forskjellige måter, som for eksempel for brøker og desimaltall.

– Skrivemåten for et tall er ikke det vesentligste for hvilket tall det egentlig er, sier Reinholdtsen.

Dette lot studentene i den skeptiske klassen seg overbevise av, til en viss grad.

• Les også: – Matematikk er mye mer enn bare å regne

Gjør det lettere å tenke matematisk

Det er den formelle definisjonen av et uendelig desimaltall som gjør at det mulig å gi et definitivt svar på om 0,999… er lik 1 eller ikke. Men dette ligger utenfor ungdomsskolepensum.

– Som lærere har vi et dilemma fordi disse definisjonene vil være utilgjengelige for en ungdomsskoleelev. Men problemstillingen kan fort dukke opp i et klasserom, forteller Reinholdtsen. Hvordan løser vi det på best mulig måte?

En god start kan være å prøve å forstå hvilke assosiasjoner elevene har til problemet.

– Identifiserer man begrepsbildene i matematikk, kan dette ofte gjøre det lettere å tenke matematisk.

Referanse

Lars Reinholdtsen, Lærerstudenters oppfatninger om 0.999… i boka Undervisningskunnskap i matematikk , Cappelen Damm Akademisk, 2016.