Det finnes uendelig mange primtall. Det beviste grekeren Euklid lenge før begynnelsen av vår tidsregning. Siden den gang har tallene som bare kan deles på seg selv og 1, frustrert og inspirert grå hår i hodene på generasjoner av matematikere. I løpet av de siste årene har primtallene våknet til liv, og matematikken nærmer seg nå beviser for hvordan primtallene oppfører seg der de forsvinner ut i uendeligheten.

Etter 80 års dvale rører primtallene på seg

Avstanden mellom veldig, veldig store primtall både krymper og vokser på samme tid.

24.4 2015 05:02

De kan bare deles på 1 og seg selv. Slik sett framstår primtallene som enkle og primitive skapninger. Men bak den ukompliserte fasaden finner vi ulydighet og primadonnanykker. Som tallrekkas sorte får har primtallene frustrert matematikere i flere årtusener.

Allerede når vi ramser opp de første, ser vi at avstanden mellom dem ikke følger noe klart mønster:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53

For her finnes jo ikke den systematikken og strengheten som preger tallsystemet ellers.

Den minste mulige avstanden mellom to primtall er 2, hvis vi ser bort fra de to naboene 2 og 3 helt i starten. Siden alle partall større enn 2 også kan deles på 2, så må alle primtall etter 2 være oddetall. Det trenger man ikke forske så mye for å finne ut.

Derimot kan det koste ganske mye tid og krefter å finne ut hva som er den maksimale avstanden mellom to primtall.

– Det er et opplagt spørsmål, et av de første du vil stille deg når det gjelder primtall, sier Andrew Granville ved Universitetet i Montreal.

Og etter 80 års stillstand er det nettopp kommet nye teorier på banen.

Professor Terence Tao ved UCLA, som ble kalt verdens smarteste mann da han besøkte NTNU i 2008, er én av hjernene bak nyvinningene. Han blir nesten personlig fornærmet over mangelen på løsninger.

– Du skal liksom være en ekspert på primtall, og likevel finnes disse grunnleggende spørsmålene du ikke kan svare på, selv om folk har tenkt på dem i flere hundreår, sier Tao til Quanta Magazine.


Hva er mer naturlig enn å starte enn tallinje for primtall på meieriet der det lages prim, nemlig Tine Meieriet Jæren? På denne tallinja er hvert hele tall et tre. Vår glade matematiker skal ut på skogtur langs tallinja for å samle primtall. Det blir en lang skogtur. Tallet 1 er det aller første oddetallet. Alle oddetallene er grantrær på vår tallinje. Tallene 2 og 3 er de to første primtallene, og de to eneste som står rett ved siden av hverandre. Begge er bare delelige på seg selv og 1, som andre primtall.

Starter i det små

Blant tallene under 100 er den største avstanden den vi finner mellom 89 og 97, men det er ikke slike småsummer dagens matematikere leker med.

Vi skal langt og lenger enn langt bortover tallinja. Forbi både millioner, billioner og trillioner, forbi vigintillioner og centillioner. Men først kan vi ta en liten pause et sted rundt 360 000. Her oppe er den gjennomsnittlige avstanden mellom to primtall cirka 12,8, omtrent som avstanden mellom primtallene 360 169 og 360 181.

Like ovenfor kommer primtallene 360 287 og 360 289 tett som hagl. Her er avstanden bare 2, og disse kalles tvillingprimtall. Så starter moroa når vi etter 360 653 må vente helt til 360 749 for neste primtall. En avstand på hele 96!

Fortsatt snakker vi om ganske små tall, men vi kan allerede ane konturene av noen av de problemstillingene matematikere har grublet over siden tallenes morgen.

  • Hvor langt kan vi telle og fortsatt oppdage nye tvillingpar?
  • Hvor stor avstand mellom to påfølgende primtall må vi være forberedt på å finne på et gitt sted på tallinja?


Langt om lenge kom matematikeren til et artig primtall, nede ved Lisboa i Portugal. Som man ser, er primtallene noe for seg selv, også rent botanisk sett. Dette primtallet er dessuten spesielt, selv til å være primtall. Hvis du tar det venstre sifferet og flytter lengst til høyre i tallet, er det fortsatt et primtall. Dette kan du gjøre så mange ganger du vil. Det kalles et sirkulærprimtall. Partallene er, som man ser, mer optimistisk anlagte løvtrær.

Verdens største – men umulig å lese

De eldste skriftene som er bevart om primtall, stammer fra grekeren Euklid som levde rundt 300 f.Kr. I Alexandria i Egypt skrev han Elementene, som har gitt ham tilnavnet «Geometriens far», men han var også en primus motor for primtalltenkningen.

Fra Euklid vet vi i hvert fall én ting sikkert: Det finnes uendelig mange primtall.

Hver gang man finner et «største» primtall, kan man bruke dette tallet til å finne et som er enda større. For eksempel ved å gange sammen alle tallene opp til og med dette «største primtallet» og deretter plusse på 1. Det tallet du får da vil enten være et primtall eller være delelig på et primtall som er større enn det du først kalte det «største primtallet».

Det er teorien, men i praksis er det ikke like lett. Store datamaskiner verden over samarbeider og konkurrerer om å finne det. Prosjektet Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) har brukt 240 000 datamaskiner i nettverk for å regne ut det som for tiden er det største primtallet:

257 885 161 – 1

Altså 2 ganget med seg selv 57 885 160 ganger, minus 1. Dette tallet kalles for enkelhets skyld M57885161.

Og før du spør hvorfor vi ikke bare skriver tallet på vanlig måte, så skal du vite at dette tallet består av mer enn 17 millioner siffer. Hvis du leser denne artikkelen til ende, så har du lest cirka 14 000 tegn. Tenk deg at du skulle lese artikkelen 1250 ganger til, så er du der.

Eller som om Karl Ove Knausgård skulle skrive ni bind ekstra av Min kamp, og du måtte lese alle 15 bøkene, tettpakket med tall på hver eneste side, før du kunne fortsette på neste avsnitt som fortsetter der vi slapp før denne lille avsporingen.

Det kan ta flere år mellom hver gang nye og større primtall blir avslørt. Det skjer med ujevne mellomrom og er jo ikke så veldig revolusjonerende, selv om det vanker både pengepremier, heder og ære.

Det som er mer spennende, men også litt mer komplisert, er at matematikere de siste par årene har gjort store framskritt i teoriene som handler om avstanden mellom primtallene.


Ute ved månen begynte matematikeren å få gnagsår, tross den lave tyngdekraften. Her støtte han på et tvillingprimtall. Det er to primtall som bare har ett annet tall mellom seg.

Tvillinger

Vi gjentar: Den minste mulige avstanden mellom to primtall er 2. To primtall som bare har ett annet helt tall mellom seg, kalles primtalltvillinger.

3 og 5, 5 og 7, 11 og 13, 17 og 19 er de første. 360 287 og 360 289 er et mindre intuitivt eksempel.

Det største kjente tvillingparet er per i dag:

Disse tallene har drøyt 200 000 siffer, eller bare litt over 90 Knausgård-sider.

Primtalltvillinger blir sjeldnere jo lenger ut i tallrekka vi kommer, og det kan jo virke nesten absurd å skulle tenke seg at M57885161, med sine drøyt 17 millioner siffer, skulle ha en tvilling bare to plasser bortover linja. Det har det altså ikke, men muligheten er der.

Det er derfor matematikken siden antikken likevel antar følgende:

Det finnes uendelig mange primtalltvillinger.

Dette er ikke bevist, men antatt. Selv etter flere tusenår med grubling står hypotesen fortsatt på lista over matematikkens uløste problemer.


Vår matematiker var heldig. Han slapp å tilbakelegge mer enn bare 100 millioner kilometer for å komme til planeten Mars. Den røde planet var nemlig ganske nær jorda, til glede for det som var igjen av skosålene. Her ute fant han et primtall blant mange. Det hadde mange nuller, og det muntret ham litt opp i solnedgangen på Mars, uvisst hvorfor.

En norsk konstant

Historien om denne hypotesen svinger innom Lier og Drøbak, fødestedet og bostedet til den norske matematikeren Viggo Brun.

Brun beviste verken at det finnes uendelig mange primtalltvillinger eller at det finnes et begrenset antall, men han gjorde likevel en viktig oppdagelse.

Når man plasserer alle primtalltvillinger under hver sin brøkstrek med et 1-tall over og så summerer disse:

så vil summen etter hvert nærme seg et bestemt tall. Akkurat hva dette tallet er vet man ikke helt nøyaktig, men det ligger sannsynligvis et sted i nærheten av 1,902160583104. Dette kalles Bruns konstant, selv om man altså ikke kan fastslå helt sikkert hva denne konstanten er.

Det fascinerende er at hvis man gjør det samme med alle primtall, altså:

så vil man bevege seg mot uendelig. Den siste formelen styrker vissheten om at det finnes uendelig mange primtall. Den første antyder, men beviser ikke, at enten finnes det et begrenset antall primtalltvillinger, eller så blir det etter hvert veldig langt mellom dem.


I halen til stjernebildet Lille hund er Nordstjernen. Denne stjernen snurrer hele stjernehimmelen rundt når jorda dreier om aksen sin. Polstjernen ligger om lag 400 lysår fra jorda, såvidt den etterhvert slitne matematikeren kunne fastslå ved en løselig opptelling av skritt. Her ute fant han et veldig ensomt primtall. Avstanden til neste primtall var hele 1476. Det fikk matematikeren til å føle seg ensom også.

Ut av det ukjente

Viggo Brun lanserte sine teorier rundt 1915. Uten å nedvurdere alle mattegeniene som fordypet seg i primtalltvillinger i mellomtiden, tar vi oss den frihet å hoppe nesten 100 år fram i tid.

For i april 2013 skjedde det noe. Den ukjente matematikeren Yitang Zhang sendte inn en tekst som skapte rystelser i tidsskriftet Annals of Mathematics.

Zhang kom fra hjemlandet Kina til USA for å ta doktorgrad i 1985. Da den var ferdig i 1991, gikk det ennå åtte år før han fikk en akademisk stilling, som universitetslektor ved University of New Hampshire. I mellomtiden livnærte han seg som blant annet regnskapsfører og restaurantbud.

Den vitenskapelige produksjonen hans var heller ikke imponerende de første årene. Det eneste han hadde offentliggjort, viste seg å være feil og ble aldri publisert i matematiske tidsskrifter.

Ellers var det stille. Helt til han sendte inn funnene sine om avstanden mellom primtall i april 2013. Redaksjonen i Annals of Mathematics måtte kaste seg rundt. Hvis dette var riktig, sto de foran en milepæl. Men kunne de stole på den ukjente foreleseren?

Ja da, det kunne de. Artikkelen ble kvalitetssikret og godkjent på rekordtid.

Zhang hadde bevist at det finnes uendelig mange primtall der det maksimalt er 70 millioner opp til neste primtall. Det høres kanskje ikke imponerende ut, men vent litt.

– Zhang gjorde det lett for seg ved å velge et så høyt tall som 70 millioner, sier Geir Ellingsrud, professor i matematikk ved Universitetet i Oslo.

Det sier han ikke for å nedvurdere Zhang.

– Det er bare slik matematikere jobber. De snur problemet litt på hodet, sier Ellingsrud.

Når Zhang ikke kunne bevise at det finnes uendelig mange primtalltvillinger, startet han heller i nesten motsatt ende. Er det mulig å bevise at det finnes uendelig mange påfølgende primtall som bare har, for eksempel, 69 999 999 andre tall mellom seg?

– Da han klarte det, var det et stort gjennombrudd. Ikke fordi tallet 70 millioner er så veldig viktig, men fordi det i det hele tatt var mulig å bevise at en slik avgrensing var mulig, sier Ellingsrud til forskning.no.

– Det er som å tro at universet er uendelig, uten grenser, for så å finne ut at det stopper et sted, har professor Eric Grinberg ved University of Massachusets Boston uttalt til magasinet The New Yorker.

Hvis Zhang ikke hadde lykkes, ville det styrket troen på at det ikke finnes uendelig mange tvillinger.


I traktene utenfor Andromedagalaksen, melkeveisystemet som er vår nærmeste nabo, fant matematikeren et primtall som bare bestod av ettall. Det prøvde å muntre ham opp, men sekken var tung av innsamlede primtall og ganglaget var knokete.

Lavere og lavere – på vei mot 2?

Etter at Zhang publiserte sine teorier i mai 2013 skjedde ting fort. Ikke bare at han rykket opp til professortittel ved University of New Hampshire.

En dugnad blant mange av verdens fremste matematikere justerte og utfylte Zhangs teorem og presset tallet nedover og nedover. I løpet av noen få måneder var det nede i litt over 4000. Per dags dato er tallet 246. Fortsatt et stykke unna 2, men veldig nær når utgangspunktet var 70 millioner.

Det vi nå vet er altså: Det finnes uendelig mange påfølgende primtall som bare befinner seg 246 plasser unna hverandre på tallinja. Og husk igjen at vi her snakker om tall med millioner av siffer.

Hvis tallet blir enda lavere og til slutt mindre enn 3, har man bevist tvillingparhypotesen.

– Jeg er overbevist om at matematikere til slutt vil være i stand til å bevise denne hypotesen, men jeg tror vi trenger noen grunnleggende nye ideer for å bevise det. Det er noen barrierer som gjør at den nåværende metoden ikke kan gjøre det bedre enn å at vise det finnes uendelig mange par av primtall som avviker med høyst seks, sier James Maynard ved University of Oxford i et intervju med matematikk-nettstedet Gonit Sora.

James Maynard og Terence Tao var blant drivkreftene bak dugnaden som forbedret Zhangs teorem.


Langt om lenge kom matematikeren til yttergrensen av det kjente univers, 46 milliarder lysår fra Tine Meieriet Jæren. Her var det også et primtall, men langt fra det største. Matematikeren lurte på om han skulle snu, men fant ut at så lenge det er tallinje, er det håp om flere primtall.

På vei mot uendelig

I etterkant har Tao og Maynard stått i spissen for nye gjennombrudd i det nesten motsatte problemet: Hvor stor avstand kan det være mellom to påfølgende primtall?

Den gjennomsnittlige avstanden mellom to primtall øker etter hvert som tallene blir større. I matematikkens språk betyr det at snittet beveger seg mot uendelig.

Det største helt sikre gapet mellom to primtall er foreløpig 1 113 106 og er funnet mellom to primtall med over 18 000 siffer.

Hvis vi går tilbake der vi var, rundt 360 000, er den gjennomsnittlige avstanden 12,8. Samtidig så vi at det her også fantes en avstand på 96, som jo er mye større enn 12,8. Da er det naturlig for en matematiker å spørre: Hvor langt fra hverandre er det mulig for to påfølgende primtall å være?

Heller ikke her er det eksakte tallet det viktigste. Det er en oppgave for datamaskiner og forskningsassistenter. For eliten av matematikere, som Tao og Maynard, er målet å finne en formel. En formel de kan bruke til å beregne hvor store gap de vil finne hvis de stopper opp i et bestemt område på tallinja.


Blodsukkeret begynner å bli lavt, nå som matematikeren ikke lenger teller trær, men universer. Så store avstander strekker tallinja seg nemlig over at han går fra det ene universet til det andre til det tredje til det … eller er det det samme universet hele tida? Mellom to av de veldig mange universene finner han de største tvillingprimtallene han har sett. Han blir svimmel ved synet. Den som bare hadde husket å ta med litt niste!

Størrelsen teller

Og endelig kan du få lov til å spørre hvilken nytte dette har. Hva er poenget, liksom? Hvem kan ha nytte av å vite hvor stor avstand det er mellom primtall?

Svaret er kryptografien, som ifølge Store norske leksikon er vitenskapen om prinsipper og teknikker for å skjule informasjon slik at bare de som er autorisert, har mulighet til å avsløre innholdet. Matnyttig som bare det for militære, hemmelig politi og andre som håndterer sensitiv informasjon. Men også for deg når du for eksempel skal flytte penger i nettbanken.

En metode innen datakryptering baserer seg nemlig på å finne veldig store primtall. Hvis det viser seg at avstanden mellom dem kan være veldig mye større enn det man tidligere har antatt, kan det by på problemer. Da må krypteringsprogrammet telle seg gjennom veldig mange vanlige tall før det i det hele tatt kommer i gang med krypteringen. Eller dekrypteringen.

Forsøkene på å finne fram til en formel for størrelsen på gap mellom primtall går langt tilbake. Men etter at den svenske statistikeren Harald Cramér og den skotske matematikeren Robert Alexander Rankin prøvde seg på 1930-tallet, har det vært stille.

Det ble for mye å gape over, kan det virke som. Ungareren Paul Erdős, en av tidenes største matematikere, syslet også med problematikken, men kom ikke så mye lenger enn å utlove en belønning på 10 000 dollar til den som løste problemet. Erdős gjorde det samme med mange andre «uløselige» problemer han ikke kom til bunns i selv, men dusøren lød sjelden på mer enn 25 dollar. Det sier noe om hans vurdering av utfordringen.


Så er vår matematiker ved reisens slutt. Ikke fordi tallinja er slutt, men fordi kreftene ikke strakk til. Dette er det aller største primtallet som foreløpig er kjent. Vår matematiker har måttet bite i gresset. Men nye matematikere med større regnekraft vil komme enda lenger. Tar det slutt noen gang? Det vet vi ikke.

Log på log på log

Maynard og Tao & Co. kom i desember 2014 med denne formelen for å beregne den maksimale størrelsen på avstanden mellom to påfølgende primtall:

Og det er ingen vits i å finne fram kalkulatoren, for disse formlene forutsetter at tallene er store nok. Og «stor nok» får du ikke plass til på et display med 10–15 siffer. Langt ifra.

Tegnet i midten betyr «mye større enn». Foran står det «det maksimale primtallgapet opp til X», og dette er altså mye større enn alle log-ene til høyre.

– De lange remsene med log-er er egentlig ikke så viktig, sier professor Geir Ellingsrud trøstende.

Bare den første, for det er den som drar gapet oppover.

– Denne formelen viser at du kan få gapet så stort du vil, bare du går langt nok ut på tallrekka, sier Ellingsrud.

– Den forteller hvor langt utover du må gå for å finne den avstanden du ønsker mellom to påfølgende primtall.

Og ønsker du det stort nok, vil du altså finne det.

Artikkelen er oppdatert 26.5.2016

Referanser:

Yitang Zhang: «Bounded gaps between primes», Annals of Mathematics, mai 2014, doi: 10.4007/annals.2014.179.3.7. Sammendrag

Ford, Green, Konyagin, Maynard og Tao: Long Gaps Between Primes (pdf), arXiv, 1412.5029v1, desember 2014.

Lenker:

Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)

De første 100 000 primtalltvillingene

De 20 største kjente primtalltvillingene

Artikkelen er oppdatert 24.04.2015, klokka 08.47 og 26.04.2015, klokka 14.45.

forskning.no ønsker en åpen og saklig debatt. Vi forbeholder oss retten til å fjerne innlegg. Du må bruke ditt fulle navn. Vis regler

Regler for leserkommentarer på forskning.no:

  1. Diskuter sak, ikke person. Det er ikke tillatt å trakassere navngitte personer eller andre debattanter.
  2. Rasistiske og andre diskriminerende innlegg vil bli fjernet.
  3. Vi anbefaler at du skriver kort.
  4. forskning.no har redaktøraransvar for alt som publiseres, men den enkelte kommentator er også personlig ansvarlig for innholdet i innlegget.
  5. Publisering av opphavsrettsbeskyttet materiale er ikke tillatt. Du kan sitere korte utdrag av andre tekster eller artikler, men husk kildehenvisning.
  6. Alle innlegg blir kontrollert etter at de er lagt inn.
  7. Du kan selv melde inn innlegg som du mener er upassende.
  8. Du må bruke fullt navn. Anonyme innlegg vil bli slettet.

Annonse

Primtalltvillinger

De første 10 parene med tvillingprimtall:

3 og 5

5 og 7

11 og 13

17 og 19

29 og 31

41 og 43

59 og 61

71 og 73

101 og 103

107 og 109

Primtallmagi

Størrelsen på gapene mellom primtall varierer. De hopper og spretter. Men noen sprang er mer populære enn andre. Disse kalles jumping champions.

2 og 4 veksler om ledelsen fram til 563. Der tar 6 over som den dominerende avstanden fram til 1035. 30 er det vanligste gapet fram til 10125 der 210 tar over. Og neste jumping champion er 2310.

Det som er litt spooky, dersom vi ser bort fra 4-eren, er at vi da sitter med denne rekka: 2, 6, 30, 210, 2310.

  • 2 er det første primtallet
  • 6 er produktet av de to første primtallene (2x3)
  • 30 er produktet av de tre første primtallene (2x3x5)
  • 210 er produktet av de fire første primtallene (2x3x5x7)
  • 2310 er, ja, produktet av de fem første primtallene (2x3x5x7x11)

Det får deg til å tenke, ikke sant?

Primtallmagi

1193 er et primtall. Hvis du flytter det første 1-tallet helt til høyre, får du 1931. Det er også et primtall. Gjør det samme en gang til, og du får 9311, også et primtall. Flytt 9-tallet, og du får også et primtall: 3119. Så flytter du 3-tallet, og er tilbake til start: 1193.

Slike tall kalles sirkulære primtall, og de første er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 79, 113, 197, 199, 337, 1193, 3779, 11939, 19937, 193939, 199933. Og ikke glem 999 331, det største kjente sirkulære primtallet som ikke bare er en variant av veldig mange 1-tall.

Sexy primtall

Det er kanskje litt nerdete å bli opphisset av tall, men det finnes faktisk primtall som kan kalles sexy.

Sexy primes er primtall der avstanden mellom er 6, for eksempel 5 og 11 eller 67 og 73.

Det finnes også tripler, for eksempel 7, 13 og 19, og kvadrupler som 41, 47, 53 og 59. De siste har man funnet helt opp til tall med 1004 siffer.

Av sexy femlinger, altså fem primtall der avstanden er seks mellom hvert, finnes bare én: 5, 11, 17, 23 og 29. Lenger opp vil alle slike rekker inneholde et tall som er delelig med 5, og dermed ikke et primtall.

Saker fra våre eiere

Universitetet i Stavanger

Frykt for ryktespredning hindrer mange unge i å søke hjelp for mentale problemer.

NIBIO

De er knøttsmå og blir ofte uglesett, men ikke alle er farlige for miljøet.

Havforskningsinstituttet

Det er konklusjonen etter at forskarar har gått gjennom all tilgjengeleg kunnskap om temaet.

Saker fra våre eiere

Statped

– Målet må vere at barn får den hjelpa og støtta dei treng, men at dei merker minst mogleg til tiltaka, seier forskar. 

Nasjonal kompetansetjeneste for aldring og helse

Symptomer som hukommelsessvikt kan ha flere årsaker enn de typiske sykdommene vi forbinder med demens.

Høgskolen i Oslo og Akershus
Podcast:

Hvordan kan du forberede deg til framtidas arbeidsliv? I denne podcasten gir to eksperter sine råd til både kommende og eksisterende arbeidstakere. 

Forskeren forteller:

Når ungdom presses til å drive med idrett, og voksne bestemmer hvordan de skal gjør det, da blir idrettsungdom lei. Men du kan unngå at barna dine mistrives, blir stresset og presterer dårlig på sikt.

Dinosaurenes historie må skrives om, sier britiske forskere etter en ny enorm analyse. Det vil uten tvil ryste fagfolk verden over, men hvis forskerne har rett, løser de flere uløste gåter.