De kan bare deles på 1 og seg selv. Slik sett framstår primtallene som enkle og primitive skapninger. Men bak den ukompliserte fasaden finner vi ulydighet og primadonnanykker. Som tallrekkas sorte får har primtallene frustrert matematikere i flere årtusener.

Allerede når vi ramser opp de første, ser vi at avstanden mellom dem ikke følger noe klart mønster:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53

For her finnes jo ikke den systematikken og strengheten som preger tallsystemet ellers.

Den minste mulige avstanden mellom to primtall er 2, hvis vi ser bort fra de to naboene 2 og 3 helt i starten. Siden alle partall større enn 2 også kan deles på 2, så må alle primtall etter 2 være oddetall. Det trenger man ikke forske så mye for å finne ut.

Derimot kan det koste ganske mye tid og krefter å finne ut hva som er den maksimale avstanden mellom to primtall.

– Det er et opplagt spørsmål, et av de første du vil stille deg når det gjelder primtall, sier Andrew Granville ved Universitetet i Montreal.

Og etter 80 års stillstand er det nettopp kommet nye teorier på banen.

Professor Terence Tao ved UCLA, som ble kalt verdens smarteste mann da han besøkte NTNU i 2008, er én av hjernene bak nyvinningene. Han blir nesten personlig fornærmet over mangelen på løsninger.

– Du skal liksom være en ekspert på primtall, og likevel finnes disse grunnleggende spørsmålene du ikke kan svare på, selv om folk har tenkt på dem i flere hundreår, sier Tao til Quanta Magazine.

Starter i det små

Blant tallene under 100 er den største avstanden den vi finner mellom 89 og 97, men det er ikke slike småsummer dagens matematikere leker med.

Vi skal langt og lenger enn langt bortover tallinja. Forbi både millioner, billioner og trillioner, forbi vigintillioner og centillioner. Men først kan vi ta en liten pause et sted rundt 360 000. Her oppe er den gjennomsnittlige avstanden mellom to primtall cirka 12,8, omtrent som avstanden mellom primtallene 360 169 og 360 181.

Like ovenfor kommer primtallene 360 287 og 360 289 tett som hagl. Her er avstanden bare 2, og disse kalles tvillingprimtall. Så starter moroa når vi etter 360 653 må vente helt til 360 749 for neste primtall. En avstand på hele 96!

Fortsatt snakker vi om ganske små tall, men vi kan allerede ane konturene av noen av de problemstillingene matematikere har grublet over siden tallenes morgen.

• Hvor langt kan vi telle og fortsatt oppdage nye tvillingpar?
• Hvor stor avstand mellom to påfølgende primtall må vi være forberedt på å finne på et gitt sted på tallinja?

Verdens største – men umulig å lese

De eldste skriftene som er bevart om primtall, stammer fra grekeren Euklid som levde rundt 300 f.Kr. I Alexandria i Egypt skrev han Elementene, som har gitt ham tilnavnet «Geometriens far», men han var også en primus motor for primtalltenkningen.

Fra Euklid vet vi i hvert fall én ting sikkert: Det finnes uendelig mange primtall.

Hver gang man finner et «største» primtall, kan man bruke dette tallet til å finne et som er enda større. For eksempel ved å gange sammen alle tallene opp til og med dette «største primtallet» og deretter plusse på 1. Det tallet du får da vil enten være et primtall eller være delelig på et primtall som er større enn det du først kalte det «største primtallet».

Det er teorien, men i praksis er det ikke like lett. Store datamaskiner verden over samarbeider og konkurrerer om å finne det. Prosjektet Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) har brukt 240 000 datamaskiner i nettverk for å regne ut det som for tiden er det største primtallet:

2^57 885 161 – 1

Altså 2 ganget med seg selv 57 885 160 ganger, minus 1. Dette tallet kalles for enkelhets skyld M_57885161.

Og før du spør hvorfor vi ikke bare skriver tallet på vanlig måte, så skal du vite at dette tallet består av mer enn 17 millioner siffer. Hvis du leser denne artikkelen til ende, så har du lest cirka 14 000 tegn. Tenk deg at du skulle lese artikkelen 1250 ganger til, så er du der.

Eller som om Karl Ove Knausgård skulle skrive ni bind ekstra av Min kamp, og du måtte lese alle 15 bøkene, tettpakket med tall på hver eneste side, før du kunne fortsette på neste avsnitt som fortsetter der vi slapp før denne lille avsporingen.

Det kan ta flere år mellom hver gang nye og større primtall blir avslørt. Det skjer med ujevne mellomrom og er jo ikke så veldig revolusjonerende, selv om det vanker både pengepremier, heder og ære.

Det som er mer spennende, men også litt mer komplisert, er at matematikere de siste par årene har gjort store framskritt i teoriene som handler om avstanden mellom primtallene.

Tvillinger

Vi gjentar: Den minste mulige avstanden mellom to primtall er 2. To primtall som bare har ett annet helt tall mellom seg, kalles primtalltvillinger.

3 og 5, 5 og 7, 11 og 13, 17 og 19 er de første. 360 287 og 360 289 er et mindre intuitivt eksempel.

Det største kjente tvillingparet er per i dag:

Disse tallene har drøyt 200 000 siffer, eller bare litt over 90 Knausgård-sider.

Primtalltvillinger blir sjeldnere jo lenger ut i tallrekka vi kommer, og det kan jo virke nesten absurd å skulle tenke seg at M_57885161, med sine drøyt 17 millioner siffer, skulle ha en tvilling bare to plasser bortover linja. Det har det altså ikke, men muligheten er der.

Det er derfor matematikken siden antikken likevel antar følgende:

Det finnes uendelig mange primtalltvillinger.

Dette er ikke bevist, men antatt. Selv etter flere tusenår med grubling står hypotesen fortsatt på lista over matematikkens uløste problemer.

En norsk konstant

Historien om denne hypotesen svinger innom Lier og Drøbak, fødestedet og bostedet til den norske matematikeren Viggo Brun.

Brun beviste verken at det finnes uendelig mange primtalltvillinger eller at det finnes et begrenset antall, men han gjorde likevel en viktig oppdagelse.

Når man plasserer alle primtalltvillinger under hver sin brøkstrek med et 1-tall over og så summerer disse:

så vil summen etter hvert nærme seg et bestemt tall. Akkurat hva dette tallet er vet man ikke helt nøyaktig, men det ligger sannsynligvis et sted i nærheten av 1,902160583104. Dette kalles Bruns konstant, selv om man altså ikke kan fastslå helt sikkert hva denne konstanten er.

Det fascinerende er at hvis man gjør det samme med alle primtall, altså:

så vil man bevege seg mot uendelig. Den siste formelen styrker vissheten om at det finnes uendelig mange primtall. Den første antyder, men beviser ikke, at enten finnes det et begrenset antall primtalltvillinger, eller så blir det etter hvert veldig langt mellom dem.

Ut av det ukjente

Viggo Brun lanserte sine teorier rundt 1915. Uten å nedvurdere alle mattegeniene som fordypet seg i primtalltvillinger i mellomtiden, tar vi oss den frihet å hoppe nesten 100 år fram i tid.

For i april 2013 skjedde det noe. Den ukjente matematikeren Yitang Zhang sendte inn en tekst som skapte rystelser i tidsskriftet Annals of Mathematics.

Zhang kom fra hjemlandet Kina til USA for å ta doktorgrad i 1985. Da den var ferdig i 1991, gikk det ennå åtte år før han fikk en akademisk stilling, som universitetslektor ved University of New Hampshire. I mellomtiden livnærte han seg som blant annet regnskapsfører og restaurantbud.

Den vitenskapelige produksjonen hans var heller ikke imponerende de første årene. Det eneste han hadde offentliggjort, viste seg å være feil og ble aldri publisert i matematiske tidsskrifter.

Ellers var det stille. Helt til han sendte inn funnene sine om avstanden mellom primtall i april 2013. Redaksjonen i Annals of Mathematics måtte kaste seg rundt. Hvis dette var riktig, sto de foran en milepæl. Men kunne de stole på den ukjente foreleseren?

Ja da, det kunne de. Artikkelen ble kvalitetssikret og godkjent på rekordtid.

Zhang hadde bevist at det finnes uendelig mange primtall der det maksimalt er 70 millioner opp til neste primtall. Det høres kanskje ikke imponerende ut, men vent litt.

– Zhang gjorde det lett for seg ved å velge et så høyt tall som 70 millioner, sier Geir Ellingsrud, professor i matematikk ved Universitetet i Oslo.

Det sier han ikke for å nedvurdere Zhang.

– Det er bare slik matematikere jobber. De snur problemet litt på hodet, sier Ellingsrud.

Når Zhang ikke kunne bevise at det finnes uendelig mange primtalltvillinger, startet han heller i nesten motsatt ende. Er det mulig å bevise at det finnes uendelig mange påfølgende primtall som bare har, for eksempel, 69 999 999 andre tall mellom seg?

– Da han klarte det, var det et stort gjennombrudd. Ikke fordi tallet 70 millioner er så veldig viktig, men fordi det i det hele tatt var mulig å bevise at en slik avgrensing var mulig, sier Ellingsrud til forskning.no.

– Det er som å tro at universet er uendelig, uten grenser, for så å finne ut at det stopper et sted, har professor Eric Grinberg ved University of Massachusets Boston uttalt til magasinet The New Yorker.

Hvis Zhang ikke hadde lykkes, ville det styrket troen på at det ikke finnes uendelig mange tvillinger.

Lavere og lavere – på vei mot 2?

Etter at Zhang publiserte sine teorier i mai 2013 skjedde ting fort. Ikke bare at han rykket opp til professortittel ved University of New Hampshire.

En dugnad blant mange av verdens fremste matematikere justerte og utfylte Zhangs teorem og presset tallet nedover og nedover. I løpet av noen få måneder var det nede i litt over 4000. Per dags dato er tallet 246. Fortsatt et stykke unna 2, men veldig nær når utgangspunktet var 70 millioner.

Det vi nå vet er altså: Det finnes uendelig mange påfølgende primtall som bare befinner seg 246 plasser unna hverandre på tallinja. Og husk igjen at vi her snakker om tall med millioner av siffer.

Hvis tallet blir enda lavere og til slutt mindre enn 3, har man bevist tvillingparhypotesen.

– Jeg er overbevist om at matematikere til slutt vil være i stand til å bevise denne hypotesen, men jeg tror vi trenger noen grunnleggende nye ideer for å bevise det. Det er noen barrierer som gjør at den nåværende metoden ikke kan gjøre det bedre enn å at vise det finnes uendelig mange par av primtall som avviker med høyst seks, sier James Maynard ved University of Oxford i et intervju med matematikk-nettstedet Gonit Sora.

James Maynard og Terence Tao var blant drivkreftene bak dugnaden som forbedret Zhangs teorem.

På vei mot uendelig

I etterkant har Tao og Maynard stått i spissen for nye gjennombrudd i det nesten motsatte problemet: Hvor stor avstand kan det være mellom to påfølgende primtall?

Den gjennomsnittlige avstanden mellom to primtall øker etter hvert som tallene blir større. I matematikkens språk betyr det at snittet beveger seg mot uendelig.

Det største helt sikre gapet mellom to primtall er foreløpig 1 113 106 og er funnet mellom to primtall med over 18 000 siffer.

Hvis vi går tilbake der vi var, rundt 360 000, er den gjennomsnittlige avstanden 12,8. Samtidig så vi at det her også fantes en avstand på 96, som jo er mye større enn 12,8. Da er det naturlig for en matematiker å spørre: Hvor langt fra hverandre er det mulig for to påfølgende primtall å være?

Heller ikke her er det eksakte tallet det viktigste. Det er en oppgave for datamaskiner og forskningsassistenter. For eliten av matematikere, som Tao og Maynard, er målet å finne en formel. En formel de kan bruke til å beregne hvor store gap de vil finne hvis de stopper opp i et bestemt område på tallinja.

Størrelsen teller

Og endelig kan du få lov til å spørre hvilken nytte dette har. Hva er poenget, liksom? Hvem kan ha nytte av å vite hvor stor avstand det er mellom primtall?

Svaret er kryptografien, som ifølge Store norske leksikon er vitenskapen om prinsipper og teknikker for å skjule informasjon slik at bare de som er autorisert, har mulighet til å avsløre innholdet. Matnyttig som bare det for militære, hemmelig politi og andre som håndterer sensitiv informasjon. Men også for deg når du for eksempel skal flytte penger i nettbanken.

En metode innen datakryptering baserer seg nemlig på å finne veldig store primtall. Hvis det viser seg at avstanden mellom dem kan være veldig mye større enn det man tidligere har antatt, kan det by på problemer. Da må krypteringsprogrammet telle seg gjennom veldig mange vanlige tall før det i det hele tatt kommer i gang med krypteringen. Eller dekrypteringen.

Forsøkene på å finne fram til en formel for størrelsen på gap mellom primtall går langt tilbake. Men etter at den svenske statistikeren Harald Cramér og den skotske matematikeren Robert Alexander Rankin prøvde seg på 1930-tallet, har det vært stille.

Det ble for mye å gape over, kan det virke som. Ungareren Paul Erdős, en av tidenes største matematikere, syslet også med problematikken, men kom ikke så mye lenger enn å utlove en belønning på 10 000 dollar til den som løste problemet. Erdős gjorde det samme med mange andre «uløselige» problemer han ikke kom til bunns i selv, men dusøren lød sjelden på mer enn 25 dollar. Det sier noe om hans vurdering av utfordringen.

Log på log på log

Maynard og Tao & Co. kom i desember 2014 med denne formelen for å beregne den maksimale størrelsen på avstanden mellom to påfølgende primtall:

Og det er ingen vits i å finne fram kalkulatoren, for disse formlene forutsetter at tallene er store nok. Og «stor nok» får du ikke plass til på et display med 10–15 siffer. Langt ifra.

Tegnet i midten betyr «mye større enn». Foran står det «det maksimale primtallgapet opp til X», og dette er altså mye større enn alle log-ene til høyre.

– De lange remsene med log-er er egentlig ikke så viktig, sier professor Geir Ellingsrud trøstende.

Bare den første, for det er den som drar gapet oppover.

– Denne formelen viser at du kan få gapet så stort du vil, bare du går langt nok ut på tallrekka, sier Ellingsrud.

– Den forteller hvor langt utover du må gå for å finne den avstanden du ønsker mellom to påfølgende primtall.

Og ønsker du det stort nok, vil du altså finne det.

Artikkelen er oppdatert 26.5.2016

Referanser:

Yitang Zhang: «Bounded gaps between primes», Annals of Mathematics, mai 2014, doi: 10.4007/annals.2014.179.3.7. Sammendrag

Ford, Green, Konyagin, Maynard og Tao: Long Gaps Between Primes (pdf), arXiv, 1412.5029v1, desember 2014.

Lenker:

Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)

De første 100 000 primtalltvillingene

De 20 største kjente primtalltvillingene

Artikkelen er oppdatert 24.04.2015, klokka 08.47 og 26.04.2015, klokka 14.45.