Abels bane-brytende matematiske oppdagelse brukes i dag på Internett til å lage den matematiske oppskriften som trengs for å utveksle krypteringsnøkler mellom sender og mottaker på en sikker måte. (Illustrasjon: Hanne Utigard)
Du bruker Abels teorier hver dag
Abels mest berømte matematiske oppdagelser hadde ingen praktisk anvendelse i nesten 200 år. Nå brukes matematikken hans hver gang du gjør noe trygt på internett.
• Matematiske læreset-ninger som har praktisk anvendelse i samfunnet.
• Abels oppdagelse av helt nye matematiske egenskaper til elliptiske kurver fikk først praktisk anvendelse nesten 200 år senere.
• Abels elliptiske kurver brukes i dag på Internett for å kunne kryptere og dekryptere informasjon på Internett på en sikker måte.
• Den viktigste drivkraften i matematikkens utvikling har vært fysikk.
• Det utvikles stadig nye læresetninger i matemat-ikk. Et eksempel er den nye matematikken til Andrew Wiles, som løste Fermats siste sats. Selv om den nye matematikk-en hans ikke kan brukes til noe konkret i dag, er det ikke utenkelig at den kan komme til praktisk anvendelse en gang i fremtiden.
Tilsynelatende unyttige matematiske læresetninger kan bli samfunnsnyttige – bare vi venter lenge nok.
Da den norske matematikeren Niels Henrik Abel (1802–1829) skulle bevise hvorfor den generelle femtegradsligningen ikke kunne løses med pluss, minus, gange, dele eller kvadratrot, oppdaget han helt nye matematiske egenskaper til det som kalles elliptiske kurver
Selv om Abel ble verdensberømt for den nye matematiske oppdagelsen sin, var det i hans samtid trolig ingen som i sine villeste fantasier så for seg at genistreken hans skulle komme til nytte nesten 200 år senere
Oppdagelsen hans var ene og alene av teoretisk art – et vakkert stykke arbeid som drev matematikken videre, men som den gang ikke hadde noen praktisk verdi.
Likevel fikk den matematiske teorien hans plutselig, rundt årtusenskiftet, en samfunnsnyttig anvendelse og blir nå benyttet av oss alle – mange ganger daglig – uten at noen av oss vanlig dødelige skjenker det en eneste tanke.
– De abelske egenskapene til elliptiske kurver brukes i dag til å kunne kommunisere sikkert på internett, slik som på Google og i nettlesere, forteller professor Kristian Ranestad på Matematisk institutt ved Universitetet i Oslo.
Matematikkprofessor Kristian Ranestad påpeker at enhver matematisk læresetning, uansett om den er fremsatt på Abels tid eller i antikken, både er evighetsvarende og allmenngyldig. (Foto: Yngve Vogt)
En viktig ingrediens i dagens sikkerhetssystem på nett kalles elliptisk kurve-kryptografi. Denne metoden gjør det mulig å kryptere og dekryptere innhold på nett.
– Elliptisk kurve-kryptografi er dagens aller mest kraftfulle matematiske verktøy i kryptografi. Selv om elliptisk kurve-kryptografien har forbedret sikkerheten på nett betraktelig, har Edward Snowdens avsløringer vist at det kreves nye tiltak. Elliptisk kurve-kryptografien vil derfor – sannsynligvis – fases ut, kanskje allerede innen ti år.
Kryptografi brukes til å opprette en sikker kanal til den du kommuniserer med. Da vil informasjonen som sendes frem og tilbake, bli kryptert og dermed være uleselig for alle oss andre.
Hver gang vi kommuniserer på nett, brukes elliptisk kurve-kryptografien til både å generere en ny nøkkel som krypterer informasjonen, og en tilsvarende ny nøkkel som dekrypterer informasjonen tilbake igjen til leselig format hos mottakeren.
Det er her Abels oppdagelse kommer inn. De abelske egenskapene til elliptiske kurver brukes til å lage den algoritmen, altså den matematiske oppskriften, som trengs for å utveksle krypterings-nøkler mellom sender og mottaker på en sikker måte.
Sikkerhetsalgoritmene på nettet bruker den elliptiske kurven til tredjegradsligningen
y2 = x3 + ax + b.
Uansett hvilke konstanter som brukes i ligningen, altså uansett hvilke verdier som velges til a og b, har ligningen et uendelig antall løsninger. I kryptografien brukes et endelig antall løsninger, men det endelige antallet er likevel svært høyt.
– Hver løsning av ligningen kan brukes til en personlig kode. Hvis en tredje person skal prøve å knekke koden, må et svært stort antall løsninger prøves.
Det fascinerende med Abels teorier, og selvfølgelig med all annen matematikk, er at matematikken, i motsetning til absolutt alle andre fag, er den eneste vitenskapen der enhver ny teori har en evigvarende sannhet.
Annonse
– Det betyr at enhver matematisk læresetning, uansett om den er fremsatt på Abels tid eller i antikken, er evige, allmenngyldige regler som gjelder uavhengig av tid og rom.
Euklids elementer, som ble skrevet ned allerede 300 år f.Kr., er brukt i lærebøker i geometri i 2000 år. Alle kjenner også til den berømte læresetningen til Pytagoras, som døde et par hundre år før Euklid. Læresetningen hans har en like naturlig plass i skolematematikken i dag.
– Du kan godt beskrive dette som et tegn på det uforanderlige i matematikken.
Mye matematikk er skapt gjennom andre fagområder. Den viktigste drivkraften har vært fysikk.
– Fysikk og matematikk har gått hånd i hånd gjennom historien. Kompliserte fenomener i fysikk utfordrer og utvikler matematikken, men samtidig bruker fysikerne matematikk til å beskrive kompliserte fenomener.
Fysikerne har gjennom historien forlatt og endret mange teorier.
– Takket være bedre og bedre måleinstrumenter og utvikling av teoretiske modeller har det vært mulig å stille helt nye spørsmål om naturen. Fysikernes beskrivelse av naturen i antikken var veldig begrenset i forhold til hva fysikerne beskriver i dag, men de matematiske setningene som ble formulert den gang, har den samme verdien nå og inngår like naturlig i matematikken den dag i dag.
Akkurat som fysikerne stadig har nye grensesprengende oppdagelser, er det også stadig nye grensesprengende oppdagelser i matematikk. For å forstå nye ting i matematikken må matematikerne utvikle nye læresetninger.
– De matematiske teoriene har utviklet seg slik at mye av den matematikken vi forsker på i dag, ikke kunne ha blitt formulert matematisk for bare 50 år siden.
Et av historiens mest kjente matematiske problem var Fermats siste sats fra 1637. Den enkle problemstillingen voldte matematisk besvær i 360 år. Han slo fast, uten å legge frem noe bevis, at det ikke finnes noen heltallige løsninger for den utvidete Pytagoras-ligningen xn + yn = zn der n er større enn 2.
Først på slutten av 1990-tallet ble gåten omsider løst av den britiske matematikeren Andrew Wiles, som i år fikk Abelprisen for arbeidet.
– Beviset til Wiles bygde på matematiske teorier som ble dannet lenge etter Fermats død. Fermat hadde derfor ingen forutsetninger til å formulere dette beviset, poengterer Kristian Ranestad.
For å komme i mål måtte Andrew Wiles blant annet ty til Abels elliptiske kurver.
– Kan den nye matematikken til Wiles, akkurat som Abels teorier, få praktiske anvendelser?
– Den kan ikke brukes konkret i dag, men vi skal ikke se bort ifra at den kan komme til nytte en gang i fremtiden.
Andrew Wiles jobber for tiden med å løse ett av de sju millenniumsproblemene i matematikk. De ble lansert i år 2000 og omfatter noen av de største matematiske utfordringene i vår tid. Ett av problemene er allerede løst. Wiles arbeider med å løse Birch-Swinnerton-Dyers-formodningen, som beskriver mengden av rasjonelle løsninger av ligninger som definerer en elliptisk kurve.
– Jeg blir ikke overrasket om dette også kommer til anvendelse, mener Ranestad og legger til at matematikken opererer mellom to ytterpunkter.
– Det ene ytterpunktet er den anvendte matematikken som brukes overalt i samfunnet. Selv om denne matematikken er skjult for oss alle, kommer den til nytte hele tiden. Det andre ytterpunktet er morsomme spørsmål som: Finnes et uendelig antall primtalltvillinger? Dette matematiske problemet har i dag ingen opplagt anvendelse, poengterer Ranestad.
