Hva har du gjort, John Tate?

Årets vinner av Abelprisen er en nybrottsmann som har skaffet andre matematikere problemer å bryne seg på i lang tid framover, sier matematikeren Arne Sletsjøe.

Publisert
Arne Sletsjøe (Foto: Arnfinn Christensen)
Arne Sletsjøe (Foto: Arnfinn Christensen)

- Vi skiller ofte matematikere i problemløsere og teoribyggere. John Tate er en typisk teoribygger, sier Sletsjøe. Han er førsteamanuensis ved Matematisk institutt på Universitetet i Oslo.

- Problemløserne går løs på matematiske problemer som har ligget der lenge, og er intenst opptatt av å løse dem. Men teoribyggere som Tate er i større grad opptatt av å bryte ny faglig mark, å definere nye problemer, sier Sletsjøe.

- Folk som er så idérike som ham, åpner veldig mange muligheter, og har ikke tid til å gå inn i alle selv. Men idéene er som kimer. De vokser og utvikler seg videre gjennom innsatsen til andre matematikere, sier han.

Grunnsteiner i byggverket

John Tate har brutt ny mark innen fagfeltet tallteori. ”Bak skolematematikkens og hverdagens enkle regning med 1, 2, 3 … skjuler det seg en kompleks og innfløkt verden som har utfordret noen av menneskeslektens aller største intellekter” heter det i begrunnelsen til Abelpris-juryen.

Babylonsk leirtavle med tall i kileskrift, fra ca. 1600-1800 f.Kr. (Foto: Bill Casselman, Yale Babylonian Collection)
Babylonsk leirtavle med tall i kileskrift, fra ca. 1600-1800 f.Kr. (Foto: Bill Casselman, Yale Babylonian Collection)

- Tallteori og geometri er de to grunnsteinene i byggverket til matematikken, forklarer Sletsjøe.

- Begge springer ut fra praktiske behov, og ble gjerne brukt sammen. Geometrien startet med behovet for å måle opp eiendommer, mens tallene trengtes for å holde regnskap over varer, kjøp og salg. Vi har skriftlige kilder som viser at begge deler var i bruk helt tilbake til Babylon og Egypt for tre tusen år siden.

Mye rart med tallene

- Men geometri og tallteori var også forskjellige. Geometrien syntes man ikke var så mystisk på den tiden. Men de gamle matematikerne oppdaget fort at det var mye rart med tallene.

- Pythagoras var en av de første som oppdaget tallenes mystiske egenskaper, og tallteorien ble et område drevet fram av stor nysgjerrighet, forteller Sletsjøe videre.

Ulamspiralen viser hvordan tall kan danne mønstre som ingen helt ut kan forklare. Til venstre: Hele tall er ordnet i spiral utover mot urviseren. Primtallene, som bare kan deles med seg selv og 1, er merket rødt. Til høyre: Det merkelige mønsteret av diagonaler som framkommer når primtallene er merket som røde punkter i en spiral med mange flere omdreininger. (Figur: Arnfinn Christensen, forskning.no og Wikipedia)
Ulamspiralen viser hvordan tall kan danne mønstre som ingen helt ut kan forklare. Til venstre: Hele tall er ordnet i spiral utover mot urviseren. Primtallene, som bare kan deles med seg selv og 1, er merket rødt. Til høyre: Det merkelige mønsteret av diagonaler som framkommer når primtallene er merket som røde punkter i en spiral med mange flere omdreininger. (Figur: Arnfinn Christensen, forskning.no og Wikipedia)

Umulig å forklare?

Denne nysgjerrigheten driver fortsatt nye generasjoner av matematikere som John Tate, mange århundrer seinere. Men hvor mye kan lekfolk forstå av utfordringene som Tate og hans kolleger baler med? Tate selv mener at det er umulig å forklare i hverdagsspråk.

- Ja, det er jeg enig i, sier Sletsjøe. – Men selv om du ikke kan forstå detaljene, kan du få et visst innblikk i idéene som ligger til grunn for utfordringene. Det blir som med en bilmotor. De fleste kan forstå hvordan stempler og sylindre fungerer. Men bare en ingeniør kan kostruere en bilmotor som går mil etter mil. John Tate er som konstruktøren – i matematikkens begrepsverden.

Det lyner mellom regneartene

- Tallene er alfabetet i matematikkens språk, sier Sletsjøe. – Og kjernen i tallteorienes vesen, er at vi har definert to operasjoner: legge sammen og gange, addisjon og multiplikasjon.

På en måte springer multiplikasjon ut av addisjon. Du multipliserer ved å legge sammen samme tall flere ganger: 3 X 4 er det samme som 3 + 3 + 3 + 3, altså 3 lagt sammen 4 ganger, som blir 12.

Men samtidig er addisjon og multiplikasjon i et særpreget motsetningsforhold. Pythagoreerne demonstrerte det med steiner som de la i firkanter.

Du kan gange 3 med 4 ved å legge 3 steiner i 4 rader, og telle svaret: i alt 12 steiner. Men hva skjer hvis du legger til enda en stein i en av radene? Hele multiplikasjonen, med rader av like mange steiner, bryter sammen. Hver for seg er multiplikasjon og addisjon enkle. Sammen slår de gnister, og i spenningsfeltet oppstår komplekse systemer som tallteoretikerne prøver å forstå.

Tre steiner ordnet i fire rader blir i alt 3 x 4 = 12 steiner. Dette er multiplikasjon. Men ved å legge til (addere) enda en stein (rød), blir multiplikasjons-systemet ødelagt. (Bildemontasje: Arnfinn Christensen)
Tre steiner ordnet i fire rader blir i alt 3 x 4 = 12 steiner. Dette er multiplikasjon. Men ved å legge til (addere) enda en stein (rød), blir multiplikasjons-systemet ødelagt. (Bildemontasje: Arnfinn Christensen)

Ustyrlig

- Du kan legge sammen tall og gange sammen tall, men du klarer ikke å holde styr på hva som skjer med den ene operasjonen når du holder på med den andre, sier Sletsjøe.

- Og samtidig er det nettopp denne kompleksiteten som er spennende. Den folder seg ut på samme måte som når interaksjonene mellom naturlovene får Universet til å folde seg ut i alt sitt mangfold, fortsetter han.

Essensen av avstand

Hva kan så Tate og hans kolleger gjøre i dette spenningsfeltet mellom addisjon og multiplikasjon? Ett av svarene er å trekke inn erfaringene fra et helt annet felt, nemlig geometrien.

- I geometrien er begrepet avstand sentralt. Men tenk deg så at du henter ut avstand som idé, essensen av avstand, alle de matematiske metodene som er bygget opp rundt avstand, men uten å skjele til selve den fysiske avstanden. Da får du et kraftfullt verktøy som kan brukes på nye måter i tallteorien, sier Sletsjøe.

Det vi er i ferd med å få en løs idé om, er de såkalte p-adiske tallene, som blant andre Tate har arbeidet med. p-adiske tall er en måte å se geometri i tallene, avstander i tallene. Men igjen: det er ikke snakk om avstander slik vi tradisjonelt betrakter dem.

Orienteringsløperen

Sletsjøe bruker et orienteringsløp som eksempel for å forklare hva han mener.
- Hvis du skal fra en post til en annen, kan du prøve å løpe mest mulig langs luftlinja. Men som enhver orienteringsløper vet, så er ikke denne rette linja alltid den korteste avstanden mellom to poster, sier han.

"Den korteste avstanden går kanskje ikke rett gjennom myra for orienteringsløperen."
"Den korteste avstanden går kanskje ikke rett gjennom myra for orienteringsløperen."

- Du kan isteden lage et målesystem for avstand som tar hensyn til den ekstra innsatsen som kreves for å bevege seg gjennom en myr, eller over en ur.

Da vil du få andre avstander enn de rene luftlinjene. På samme måten har matematikerne fikset på avstandssystemet og tatt det i bruk til nye formål i tallteorien, fortsetter han.

Sprø konsekvens

- Det som kan være vanskeligst for utenforstående å godta, er at matematikere kan vri og vrenge på begreper slik de vil. De trenger ikke å skjele til hverdagsopplevelser eller den fysiske virkelighet. Så lenge de holder seg konsekvent til regelsettene, er alt lov, sier Sletsjøe.

Dette ligner logikken i en science-fiction-fortelling. Det er ikke noe i veien for å skildre en verden der tyngdekraften får ting til å falle oppover.

Science-fiction-entusiastene godtar det glatt, så lenge forfatteren er trofast mot det entusiastene kaller ”plottet”: Det vil si at den verdenen som skildres, er gjennomført konsekvent utfra sine sprø forutsetninger.

Kodenøkler

Men betyr dette at tallteorien lever i sin egen, strengt konsekvente, men sprø og virkelighetsfjerne verden?

- Tallteori kan også være nyttig. En metode innen datakryptering er å multiplisere store primtall, sier Sletsjøe.

- Det er ganske enkelt å gjøre en slik multiplisering, men veldig vanskelig å gå tilbake for å finne de to primtallene hvis man ikke kjenner dem. Kryptering er som prinsippet for gjemsel: Det er mye lettere å gjemme seg enn for andre å finne deg.

Likevel er det ikke forventninger om nytte som driver Tate og andre tallteoretikere, mener han.

– Det er løftet om hva du kan få til når du starter med ett punkt, og så tegner deg utover med logikken i de matematiske regelsettene. Da kan du i siste instans slå en perfekt sirkel rundt hele Universet, avslutter Sletsjøe.

Lenke:

Vitenskapsakademiets nettside om Abelprisen