Matematikk er viktig for vårt høyteknologiske samfunn, noe som er hovedgrunnen til at myndighetene i Norge og i de fleste andre høyt utviklede land bekymrer seg for ungdommens sviktende interesse for og mestring av faget.

Veien mellom forskningsfronten i matematikk til vår praktiske hverdag kan imidlertid fortone seg som lang og mindre tydelig, og ledende matematikere er som regel ikke primært interessert i hvilken nytteverdi forskningen har.

Men det finnes unntak, og et av de fremste navn i denne sammenheng er Ingrid Daubechies, som kommer til NTNU i neste uke. Hun er professor i matematikk ved Princeton University.

Konkrete anvendelser

Forskningen hennes er dypt forankret i konkrete anvendelser, og gjennom nært samspill med forskere innen ingeniørfag fanger hun opp viktige teknologiske problemstillinger.

Samspillet er gjensidig berikende: Hennes matematikk inspireres ofte av ideer fra anvendte felt, og hun har samtidig evnen til å omsette avansert matematikk til praktisk bruk. Hun regnes i dag som en av verdens mest betydningsfulle anvendte matematikere.

Den meste kjente anvendelsen av Daubechies’ matematikk finner vi i noe som kalles JPEG2000. Forkortelsen JPEG står her for Joint Photographic Experts Group – det er en stor gruppe av eksperter som har fastsatt standarder for koding og kompresjon av digitale bilder.

I vår elektroniske hverdag

Du finner utallige anvendelsesområder i din elektroniske hverdag der JPEG har satt standarden – for eksempel i digitale kameraer, 3G-mobiltelefoner, printere og scannere. Vitenskapelige anvendelser finnes innen områder som fjernteknologi (remote sensing), medisinsk bildebehandling og distribusjon av meteorologiske data.
JPEGs siste standard kom i 2000 og kalles JPEG2000. Den ble opprinnelig utviklet for bildekompresjon i mobiltelefoner, men den fikk først i 2005 en vesentlig kommersiell anvendelse da det ble bestemt at den skulle brukes som kompresjonsstandard for digital kino.

Norge blir faktisk det første land i verden som digitaliserer alle kinoer, takket være et stort spleiselag mellom bransjeorganisasjonen Film&Kino, kinoene selv og Hollywood. Resultatet av en større anbudsrunde ble avgjort i februar i år, og digitaliseringen av alle kinoer skal være gjennomført innen utgangen av 2011.

Wavelets

En vesentlig ingrediens i JPEG2000 er en matematisk konstruksjon som i hovedsak kan tilskrives Ingrid Daubechies. Samspillet mellom matematikk og teknologi er i dette eksempelet slående: Et viktig matematisk resultat er i løpet av få år å finne så å si bygget inn i en større kommersiell anvendelse.

JPEG2000 er basert på bruk av en type wavelets – småbølger kan vi kanskje si på norsk. En wavelet er en liten bølgeform med noen få ”topper” og ”bunner”, som vi kan flytte rundt på og samtidig trykke sammen eller strekke ut. Hovedideen er at ethvert signal (for eksempel et lydopptak) kan representeres som en sum av slike småbølger, alle fremkommet fra den samme opprinnelige bølgeformen (waveleten).

Vi kan sammenligne dette med måten vi representerer et musikkstykke på ved hjelp av et partitur: Ved et gitt tidspunkt forteller det oss hvilke toner (høye eller lave) som skal spilles med hvilken styrke; høye toner vil svare til at waveleten er ”sammentrykt”, lave toner til at den er ”strukket ut”.

Lederskikkelse

Når bilder skal representeres, gjør bruk av wavelets at man først beskriver de groveste strukturene for deretter å fylle inn finere og finere detaljer, på samme måten som når man bruker zoom-funksjonen på et kamera. Når vi bruker wavelets, snakker vi derfor av og til om at vi har å gjøre med et ”matematisk mikroskop”.

Disse fundamentale ideene går langt tilbake i tid; wavelets slik vi kjenner dem i dag, vokste frem tidlig på 1980-tallet gjennom en syntese av ideer fra mange ulike retninger: ren matematikk (harmonisk analyse), teoretisk fysikk (koherente tilstander), signalbehandling (delbåndskoding) og datateknikk (datasyn).

Med bakgrunn som teoretisk fysiker etablerte Daubechies seg raskt som en av lederskikkelsene i det enestående tverrfaglige samspillet som i løpet av få år ga oss wavelet-teorien slik vi i dag kjenner den. Andre nøkkelpersoner i denne tidlige fasen var geofysikeren Jean Morlet, den teoretiske fysikeren Alex Grossmann og matematikeren Yves Meyer.

Daubechies’ mest banebrytende arbeid kom i 1988 da hun konstruerte en stor klasse av såkalte ortonormale basiser av wavelets. Uten dette helt avgjørende skrittet og en senere videreutvikling gjort av Daubechies i samarbeid med Albert Cohen og Jean-Christophe Feauveau, ville wavelets ikke fått den praktiske betydning de nå har.

Daubechies’ algoritme utgjør et viktig teoretisk fundament for dagens bruk av wavelets i JPEG2000-standarden. Daubechies’ konstruksjon av ortonormale wavelet-basiser er eksemplet par excellence på viktig matematikk som oppstår i grenselandet mellom matematikk og teknologi. Selve bevisteknikken er inspirert av metoder brukt i digital signalbehandling.

Ung disiplin

Den vitenskapelige disiplin som omhandler digital representasjon av virkelige bilder og signaler, er fremdeles ung. Vi vet ikke i dag hvilke av dagens mange forskningstrender som vil skape grunnlag for fremtidig utvikling og teknologiske nyvinninger. Vi kan likevel slå fast at wavelet-teori og de underliggende ideer – både de matematiske teknikkene og anvendelsene innen digital representasjon av bilder – utgjør et felt av gjennomgripende betydning for den vitenskapelige utviklingen.

For å hedre nobelprisvinneren Lars Onsager, innførte NTNU (den gang NTH), hans alma mater, en årlig Onsager-forelesning i 1993, holdt av en fremragende forsker.

Flere tidligere nobelprisvinnere har gitt Onsager-forelesningen. I år gis forelesningen av Ingrid Daubechies, og hun er dermed den første kvinne blant de hittil 18 Lars Onsager-foreleserne.

Som kvinne er hun pioner også i en annen sammenheng: Hun ble i 1994 første kvinnelige matematikkprofessor ved Princeton University, som først i 1969 tillot at kvinner kunne tas opp som bachelorstudenter!

Ingrid Daubechies er også utnevnt til æresdoktor ved NTNU i jubileumsåret 2010 – ved feiringen av NTNUs 100-årsjubileum og Det Kongelige Norske Videnskabers Selskabs 250-årsjubileum. Doktorkreeringen og Onsager-forelesningen med tittelen ”Mathematics Meets Arts: Image Analysis of Paintings” vil begge finne sted i Trondheim 27. april i år.

Mer informasjon om Ingrid Daubechies.