Hvis jeg spør deg om det er like mange parkeringsplasser og biler, så ville du sannsynligvis telle antall bilder og antall parkeringsplasser, for så å sjekke om det var like mange. I praksis er dette en veldig god måte å finne svaret på, men det er ikke den eneste måten. (Foto: Scanpix)
Hvis jeg spør deg om det er like mange parkeringsplasser og biler, så ville du sannsynligvis telle antall bilder og antall parkeringsplasser, for så å sjekke om det var like mange. I praksis er dette en veldig god måte å finne svaret på, men det er ikke den eneste måten. (Foto: Scanpix)

Forskeren forteller: Er det flere naturlige tall enn partall?

De naturlige tallene er 0, 1, 2, 3,4 osv. Annethvert naturlige tall er et partall. Er det da slik at det er flere naturlige tall enn partall?

Publisert

Vi er vant til å kunne svare raskt på spørsmål om størrelse. Vi ser fort at 10 er større enn 8 og at 492 er større enn 41. I begge disse tilfellene kan vi svare fordi vi vet at når vi teller, så kommer vi til 8 før vi kommer til 10, og til 41 før 492. Vi kan bruke en lignende teknikk også med desimaltall ved å se for oss hva som ligger nærmest 0 på tallinjen. Vi ser at 7.89 er mindre enn 7.91, fordi vi kommer til 7.89 først når vi beveger oss utover på tallinjen.

Men hva så med antall naturlige tall (0, 1, 2, 3, 4….) og antall partall (0, 2, 4, 6, 8….)? Teknikken vi har brukt så langt virker ikke, fordi vi kan aldri telle til uendelig.  

Er 0 et partall? Svaret avhenger av definisjonen av partall. Her velger vi å definere partall som tall på formen 2m der m er et naturlig tall. Vi velger også å definere de naturlige tallene slik at 0 er et naturlig tall. Da er 0 også et partall.
Er 0 et partall? Svaret avhenger av definisjonen av partall. Her velger vi å definere partall som tall på formen 2m der m er et naturlig tall. Vi velger også å definere de naturlige tallene slik at 0 er et naturlig tall. Da er 0 også et partall.

Når er mengder like store?

Hvis jeg spør deg om det er like mange parkeringsplasser og biler, så ville du sannsynligvis telle antall bilder og antall parkeringsplasser, for så å sjekke om det var like mange. I praksis er dette en veldig god måte å finne svaret på, men det er ikke den eneste måten.

Vi kunne også forsøkt å parkere én bil på hver parkeringsplass. Vi skal bruke denne observasjonen til å definere hva vi mener når vi sier at to mengder er like store.

Se for deg en gammeldags skoledans, hvor vi har en rekke med gutter og en rekke med jenter. Ved å telle antall gutter og antall jenter kan vi finne ut om det er like mange, men nå skal vi bruke en annen metode: Dersom alle kan få sin egen dansepartner vet vi at det er like mange gutter og jenter. Denne ideen er veldig kraftig. For det første fungerer den godt for eksemplene vi har sett på så langt, sjekk selv med bilene og parkeringsplassene. I tillegg lar den oss sammenligne mengder som er uendelig store!

Det som kan telles

Alt vi kan liste opp kan vi telle, og alt vi kan telle kan vi liste opp. Se for deg at vi har en liste over alle biler som er registrert i Norge. Ved å sette tallene fra 0 og oppover ved siden av hver bil har vi telt dem opp. På den andre siden, så vil hver person som kommer inn på postkontoret trekke en kølapp. Ved å sette alle disse personene etter hverandre etter nummer kan vi lage en liste av dem.

Også uendelige mengder kan være mulige å telle opp og å liste opp. Vi sier at en uendelig mengde er tellbar dersom den kan gå på dans med de naturlige tallene og at alle får en dansepartner. Altså er en mengde tellbar når det er mulig at hvert element i mengden får sitt eget tall. Vi kan selvfølgelig ikke skrive opp alle tallene, det er tross alt uendelig mange av dem, men vi kan skrive opp så mange vi vil.

Det vil aldri være noe som hindrer oss i å fortsette å skrive opp det neste tallet, så vi kan se for oss at det finnes en uendelig liste av de naturlige tallene.

Kan vi gå tom for partall?  

Vi er nå klare til å svare på spørsmålet som fikk oss i gang. Er det flere naturlige tall enn partall? Siden det er uendelig mange av begge kan vi ikke bare telle. Da bruker vi i steden metaforen om dansepar som vi har sett på tidligere. Vi ser at når de naturlige tallene går på dans med partallene, så kan alle få en partner.

Ja, partallene vokser fortere enn de naturlige tallene når vi lister dem opp side om side, så det naturlige tallet 1431 må danse med partallet 2862, som er mye større. Dette går bra likevel, for vi kommer aldri til å gå tom for partall. Velg deg et naturlig tall, så kan du lett regne ut hvem det hører sammen med. Velg deg et partall, og du kan igjen regne ut partneren.

Med de definisjonene og antagelsene vi gjør her er altså svaret at det finnes like mange naturlige tall og partall. Vi kunne gjort andre valg underveis, men de valgene vi har gjort er de som viser seg å gi de mest nyttige resultatene i de fleste tilfeller, og er derfor de vanligste valgene. Så skal vi være helt upartiske bør vi kanskje svare: “Det kommer an på hva du mener med flere!”