Det urgamle sekstitallet

Irakernes forfedre fant opp det første moderne tallsystem, og regnet ut sidene i en rettvinklet trekant med ”pythagoreeren”, tolv hundre år før Pythagoras.

En leirtavle med en rettvinklet trekant er beviset: Sumererne hadde funnet formelen for lengden på sidene i en rettvinklet trekant, skrevet med kileskrift i et tallsystem med grunntallet 60.

Leirtavla med katalognavnet YBC 7289 stilles for tida ut på New York University. Den er en gammel elevøving.

For om lag 3 700 år siden satt studenter i det gamle Babylon og øvet seg på å forme figurer og tegn i myk leire med en trepinne med kileformet spiss.

Den babylonske steinen YBC 7289 er fra ca. 1800-1600 f.Kr, og viser hvordan babylonerne regnet ut diagonalen i en likesidet firkant til kvadratroten av to. (Foto: Bill Casselman, Creative Commons, se lisens, fargelagt av forskning.no)
Den babylonske steinen YBC 7289 er fra ca. 1800-1600 f.Kr, og viser hvordan babylonerne regnet ut diagonalen i en likesidet firkant til kvadratroten av to. (Foto: Bill Casselman, Creative Commons, se lisens, fargelagt av forskning.no)

De første skrifttegnene

Lenge var YBC 7289 et mysterium, men på begynnelsen av 1900-tallet klarte den franske orientalisten François Thureau-Dangin å tolke denne kileskriften.

Tegnene som studentene risset inn, var nemlig på et tusen år eldre språk: sumerisk. Sumer er den første kjente sivilisasjonen i området mellom elvene Eufrat og Tigris i nåværende Irak.

Sumererne utviklet de første stiliserte skrifttegnene og tallene. Det var derfor studentene i Babylon fortsatt skrev de gamle tegnene.

Urgamle utregninger

Firkanten på YBC 7289 har diagonaler trukket tvers over, som deler den i to rettvinklede trekanter. Tvers over en av diagonalene er det risset inn kileskrift.

Hadde det ikke vært for den østerriksk-amerikanske matematikeren Otto Eduard Neugebauer, hadde vi kanskje ennå ikke forstått betydningen av denne kileskriften. I 1905 utgav han boka ”Inscriptions de Sumer et d’Akkad”, som åpenbarte sumerernes gamle tallsystem.

Og tallet over diagonalen på YBC 7289 er ikke et hvilket som helst tall. Det er kvadratroten av to.

“Pythagoreeren” lenge før Pythagoras

Hva betyr det? Hvis du setter lengden av de to korte sidene i en rettvinklet trekant lik en, hva blir da lengden på diagonalen?

Ved å bruke den pythagoreiske læresetning får du svaret: 1,41421296 – eller enda mer nøyaktig, kvadratroten av to.

Sumererne hadde altså allerede 1700 f.Kr. funnet fram til ”pytagoreeren”, formelen for lengden av sidene i en rettvinklet trekant.

Dette var 1200 år før den greske matematikeren og filosofen Pythagoras av Samos formulerte den samme læresetningen på nytt.

En av de rettvinklede trekantene i firkanten, med kortsider lik en. Den pythagoreiske læresetninge sier at diagonalen (hypotenusen) i annen (dvs. ganget med seg selv) er lik den ene kortsiden (dvs. katetet) i annen pluss den andre kortsiden i annen. Her: 1 ganger 1 pluss 1 ganger 1 er lik 2. Diagonalen blir da det tallet som ganget med seg selv er lik to, altså kvadratroten av 2. (Figur: forskning.no, foto: Bill Casselman, Creative Commons)
En av de rettvinklede trekantene i firkanten, med kortsider lik en. Den pythagoreiske læresetninge sier at diagonalen (hypotenusen) i annen (dvs. ganget med seg selv) er lik den ene kortsiden (dvs. katetet) i annen pluss den andre kortsiden i annen. Her: 1 ganger 1 pluss 1 ganger 1 er lik 2. Diagonalen blir da det tallet som ganget med seg selv er lik to, altså kvadratroten av 2. (Figur: forskning.no, foto: Bill Casselman, Creative Commons)

60-tallssystem

Sumererne utviklet også det første kjente tallsystemet der sifrenes plassering eller posisjon hadde betydning. Vi kjenner det igjen fra vårt eget tallsystem: Tallet to betyr for eksempel 20 hvis det står i tierposisjonen, foran nulltallet.

Mens vårt tallsystem er basert på ti tall, null til ni, så hadde sumererne hele 60 tall i sitt system. Det betød at når de hadde kommet til tegnet for 59, så plasserte de ettallet i posisjon to, akkurat som når vi hopper fra 9 til 10.

Sumererne hadde riktignok ikke nulltallet. Blant andre babylonerne innførte det. Men de laget et ubeskrevet felt på leirtavlen der vi ville skrevet en null, for å indikere posisjonen til tallet.

Det babylonske sekstitallsystemet, arvet fra sumererne. (Figur: Jose117, GNU, se lisens)
Det babylonske sekstitallsystemet, arvet fra sumererne. (Figur: Jose117, GNU, se lisens)

Det delelige tallet

Hvorfor brukte sumererne hele 60 tall? Tallet 60 har en viktig egenskap for den som skulle bruke tall til å regne: Det er delelig på mange andre tall: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 og 30.

Vårt eget 10-tall er mye mindre delbart, bare på 1, 2 og 5. Vi kan derfor like gjerne spørre: Hvorfor valgte vi ti?

Trolig fordi vi har ti fingre. Men sumererne brukte trolig også fingrene til å telle med. 12 fingerbein på den ene hånden ganger fem fingre på den andre blir lik 60.

Levende arv

Arven fra sumerernes bokstavelig talt urgamle 60-tallssystem er fortsatt levende. Vi deler jo timen inn i 60 minutter, og minuttet inn i 60 sekunder.

Det gir oss ennå den samme delingsfordelen: En time kan deles i 30 minutter, 20 minutter, 15 minutter, 12 minutter, 10 minutter, seks minutter, fem minutter og så videre.

Også lengdegrader på jordkloden er delt i timer og minutter. Det passer bra med tidssonene.

En sirkel er delt i 360 grader, som kan deles videre i seks vinkler, hver på 60 grader. Og hver grad i vinkelmålet vårt er delt i 60 bueminutter, som igjen er delt i 60 buesekunder.

På sett og vis kan vi derfor si at 60 er et ”rundere” tall enn 50, som det er vanlig å feire i vår kultur. Kanskje burde vi, i takknemlighet og erbødighet for sumerene, feire runde år når vi passerer 60?

Det er i alle fall et rundt år som vi lett kan dele med de fleste …

Lenke:

Artikkel i New York Times

Powered by Labrador CMS