I løpet av sin syv år lange historie har den norske Abelprisen etablert seg som verdens viktigste matematikkpris. Innenfor realfagene har den status på linje med Nobelprisen.

I dag er det igjen klart for prisseremoni, hvor HM Kong Harald overrekker Abelprisen til Mikhail Gromov ”for hans revolusjonerende bidrag til geometrien”.

Tildelingen av Abelprisen til Mikhail Gromov er ikke bare en anerkjennelse av en av vår tids største matematikere, det er også er påminnelse om at den eldgamle vitenskapen geometri er en levende og vedvarende kilde til nye ideer.

Ordet ”geometri” betyr ”jordmåling”, og opprinnelig handlet geometrien om å måle opp land, slik som i det gamle Egypt. De store variasjonene i Nilens vannstand la grunnlaget for å utvikle geometrien, når flomvannet hvisket ut alle grenser i elvens nærhet. Metodene man brukte til å måle opp åkrenes areal er i prinsippet de samme som brukes den dag i dag. Videre er det utenkelig at egypterne skulle kunne konstruere – og bygge – pyramidene uten inngående geometriske kunnskaper.

Punkter, linjer, flater og legemer

Klassisk geometri er den grenen av matematikken som beskjeftiger seg med romstørrelser (punkter, linjer, flater, legemer). I antikken ble alt som var kjent av plan- og romgeometri systematisert i Euklids store verk Elementa. Dette var praktisk talt geometriens bibel i over 2000 år. Nasjonalbiblioteket har nylig skaffet seg den første trykte utgaven av dette verket, fra 1482. Her står det for eksempel hva vi skal mene med begrepene ”et punkt” og ”en linje”.

Euklid definerer et punkt som ”det som ikke har noen del” og en linje som ”en lengde uten bredde”. Et punkt har altså ikke noen utstrekning og lar seg derfor heller ikke tegne. Det betyr at ingen noensinne har sett eller vil komme til å se et punkt. Likevel påstår vi at punkter finnes. Samler vi nok av dem og legger dem tett kan vi danne en linje eller en annen romstørrelse. Verden er dermed bygget opp av enkeltbestanddeler uten utstrekning, men som paradoksalt nok kan settes sammen til større figurer.

Avstand er også et fundamentalt geometrisk begrep. Man tegner rette linjer for å beregne avstand, og tegner man tre linjer som ikke er parallelle, vil de danne en trekant. Et grunnleggende resultat i den forbindelse er den såkalte trekantulikheten, som sier at summen av lengdene av de to korteste sidene i en trekant er større enn lengden av den lengste siden. I den klassiske geometrien vil dette si at den korteste veien mellom to punkter er den rette linje.

Krum geometri

Matematikeren Dennis Sullivan har sagt: ”Det er ufattelig hva Mikhail Gromov kan få ut av trekantulikheten.” Dette utsagnet dreier seg om trekantulikheten i andre geometrier. Den klassiske plane geometrien viste seg nemlig å ha sine begrensninger: For navigatører holdt teorien mål dersom planen var å krysse Sognefjorden, men hvis oppgaven var å finne sjøveien fra Stavanger til Shetland var det tvingende nødvendig å forholde seg til at jordoverflaten er krum, og med det en krum geometri.

Gamle sannheter falt, for eksempel er ikke vinkelsummen i en trekant på jordoverflaten 180 grader, men mer. Hvor mye mer vil avhenge av hvor stor trekanten er. Vi kan tenke på det som at innmaten i trekanten buler opp og derfor presser alle vinklene utover.

Interessen for å forstå universet vi lever i, og ikke minst hva som skjedde ved dets begynnelse, omtalt som ”big bang”, ledet også til et nytt syn på geometri. I likhet med at jordoverflaten er en krum flate har det vist seg rimelig å anta at universet er et krumt rom. Det er ikke like lett å visualisere dette som i tilfellet med jordoverflaten, hvor vi kan se for oss krumningen.

Vi kan likevel observere den ved å studere bilder fra Hubbleteleskopet av stjerner som ligger ”bak” sorte hull, såkalt gravitasjonell brytning. Vi ser lysstråler fra stjernen selv om den rette linja mellom oss og stjernen er blokkert. Lysestrålene følger den korteste vei, – og i denne geometrien er ikke den korteste vei den rette linja, men en som ”krummer” seg rundt det sorte hullet!

Gamle problemer, nye metoder

Abelprisen, Gromov og geometrien gir alle på hver sin måte bidrag til matematikkens historiske kontinuitet. Felix Klein, en av 1800-tallets store matematikere, og veileder for verdens første kvinnelige doktorand i matematikk, skrev i 1894 at ”Den rene matematikken vokser ved at man reflekterer over gamle problemer ved hjelp av nye metoder. I den grad vi bedre forstår de gamle problemene, vil nye by seg fram av seg selv.”

Årets Abelprisvinner er en levende manifestasjon av dette sitatet. Hans arbeider rører ved de fleste grener innenfor matematikk, der han ”ser” geometri overalt. Ved å bruke intuisjon og teknikker fra geometrien har Gromov ikke bare løst matematiske problemer, men i enda større grad lagt veien åpen for utforskning av gamle og nye problemstillinger i et geometrisk perspektiv.

Gromov er opphavsmann for matematiske begreper som pseudo-holomorfe avbildninger og hyperbolske grupper. Men han er også matematikeren som tar tak i Mendels arvelover om blå- og brunøyde foreldre og barn, og sekvensering av DNA-molekyler fortstått som elementer i geometriske grupper.

Geometrien har alltid hatt evnen til å fornye seg og finne nye anvendelser, blant annet innenfor medisin, astronomi og kunst. Geometrien er verktøyet sjøfarere i alle tider har brukt for å komme til rett plass på den andre siden av havet. Geometrien var også Einsteins nøkkel til å formulere den generelle relativitetsteorien. Gromov og andre av vår tids vitenskapsmenn tar i dag føringen for å bruke geometri til å trenge dypere inn i vår egen natur, helt inn i genenes molekylærbiologi.

Gamle menn får prisen

Abelprisen blir omtalt som matematikkens Nobelpris. Prisen har hovedsaklig blitt tildelt gamle menn som gjorde sine saker for 30-40 år siden. Dette har sammenheng med at det ofte tar lang tid fra teorier utvikles til man forstår rekkevidden av dem. Kanskje er tildelingen av årets pris til Mikhail Gromov et tegn på at Abelprisen kan leve opp til Arild Stubhaugs tittel på sin Niels Henrik Abel-biografi, ”Et foranskutt lyn”.

Vi venter i spenning på om Abelkomiteen, med sin store faglige tyngde og vitenskapelige autoritet, ikke bare velger sine ungdoms helter, men også klarer oppgaven med å se framover og ane konturene av fremtidig storhet.