Den uforståelige Abelprisen

I dag fikk matematikerne Jaques Tits og John Griggs Thompson overrakt Abelprisen. Er det mulig for vanlige folk å skjønne hvorfor? Kanskje Rubiks kube kan hjelpe.

Publisert
(Foto: Nina Kristiansen
(Foto: Nina Kristiansen

Den vitenskapelige komiteen som plukket ut årets abelprisvinnere, begrunnet sitt valg med at de to matematikerne har vært meget viktige deltakere i arbeidet med å forme moderne gruppeteori.

- For en utenforstående er det svært vanskelig, for ikke å si umulig, å vurdere berettigelsen av dette valget.

Det skriver Det Norske Videnskaps-Akademi selv i informasjonsmateriellet som er sendt ut i forbindelse med prisutdelingen.

Det lover ikke bra for de fleste av oss. Gruppeteori er nemlig noe de færreste møter før de har studert matematikk i 3-4 år på universitetet.

Kanskje kan det hjelpe litt at det har noe med Rubiks kube å gjøre.

Eget språk

Matematikk er et eget språk, og matematikerne trenger egentlig ikke å forholde seg til verden ellers i det hele tatt. De definerer sine egne regler, og jobber med tall og formler som ikke trenger å representere annet enn seg selv.

Det er ikke så rart at uinnvidde får vondt i hodet – vårt matematiske mestringsnivå kan kanskje sammenlignes med spedbarnets babling, mens Tits og Thompson er Shakespeare.

John Griggs Thompson takker for Abelprisen 20. mai 2008 (Foto: Nina Kristiansen)
John Griggs Thompson takker for Abelprisen 20. mai 2008 (Foto: Nina Kristiansen)

Men det går an å forsøke å illustrere gruppeteori. Hvis du for eksempel sovner klokka 23 en kveld, og sover i åtte timer – hvor mye er klokka når du våkner? Da er klokka sju, svarer du. Men hvorfor er ikke klokka egentlig 31?

23+8 er tross alt 31.

Forklaringen er at vi ikke regner på den måten når det handler om klokka. Der har vi nemlig bestemt, at når vi kommer til midnatt, så begynner tellingen på nytt.

Mengden av klokkeslett {0,1,2 …, 23} danner det som matematikere kaller en syklisk gruppe. En del av gruppeteorien dreier seg om å studere denne typen strukturer.

Symmetrier

Gruppeteori handler også om symmetrier, og kalles gjerne ”vitenskapen om symmetrier”.

Symmetrier har den egenskapen at vi kan sette dem sammen og danne nye symmetrier. Vi tar et kvadrat. Så setter vi sammen to 90 graders rotasjoner av dette kvadratet. Da får vi en 180 graders rotasjon.

Speiler vi kvadratet først om en akse på langs, deretter om en akse på tvers, får vi også en rotasjon på 180 grader. To speilinger om forskjellige akser gir altså en rotasjon.

Resultatet ville blitt noe helt annet om vi speiler to ganger rundt samme akse. Da vil vi nemlig komme tilbake til der vi startet.

Nå truer hodepinen kanskje med å melde seg allerede, men gruppeteori som geometrisk tilnærming handler altså om å formalisere dette symmetrispillet.

Rubiks kube

Det lille (og for noen irriterende) leketøyet Rubiks kube er satt sammen av en fast kjerne i midten som resten av delene er hengslet på. Det eneste vi ser av kjernen, er de seks midterste feltene på hver side av kuben.

"Rubiks kube."
"Rubiks kube."

Hvert av de seks feltene sitter ytterst på en arm hvor de omkransende åtte kubene lar seg rotere rundt armen.

Til sammen har Rubiks kube 27 små kuber (inkludert midten), hvorav 7 sitter fast i kjernen, mens 20 er bevegelige. Åtte av de bevegelige kubene er hjørner, mens 12 er midtfelt. Hjørnene har tre synlige sider, mens midtfeltene har to.

En såkalt symmetri av kuben, det vil si en sammensetning av ulike rotasjoner, må gå ut på at vi flytter hjørne til hjørne, og midtfelt til midtfelt.

For Rubiks kube finnes det visstnok 43 252 003 274 489 856 00 lovlige symmetrier, eller sammensetninger av ulike rotasjoner.

Nøkkelen

I gruppeteori danner disse symmetriene en gruppestruktur som vi kan kalle Rubiks gruppe, skriver Arne B. Sletsjøe i et skriv fra Vitenskapsakademiet. Dette er visstnok ingen simpel gruppe, den er bygget opp av flere simple grupper, samt kopier av noen andre grupper.

- Nøkkelen til en rask løsning av Rubiks kube er å kjenne til bestemte undergrupper av Rubiks gruppe, skriver Sletsjøe.

En enkeltrotasjon på kuben endrer på 20 av de 48 bevegelige feltene og fikserer de øvrige 28. Dersom du setter sammen flere enkeltrotasjoner på en smart måte, kan du øke antallet fikserte felt.

- Det er dette kubeløserne er så gode til. De kjenner til og husker sekvenser av rotasjoner som fikserer et stort antall felt, og som derfor kan brukes til å bytte rundt på kun et lite antall feilplasserte farger, uten at de rett plasserte feltene forrykkes, skriver Sletsjøe.

Han runder av med å informere oss om at den gruppeteoretiske beskrivelsen av dette ikke er spesielt komplisert.

- En helt annen sak er å kunne utføre de riktige sekvensene av rotasjoner som skal til for å løse kuben. Rubiks kube er slik sett et godt eksempel på at teori og praksis er to forskjellige ting, i tillegg til å være en fabelaktig anvendelse av gruppeteori, skriver han.

Ikke nytt

Verdens matematikere har jobbet med gruppeteori i 200 år. De norske matematikerne Niels Henrik Abel og Sophus Lie satte også sitt preg på gruppeteorien, og begge fikk sentrale begreper innen feltet oppkalt etter seg – nemlig abelske grupper og Lie-grupper.

- Årets Abelpris er ikke bare en pris til Thompson og Tits. Den er også en anerkjennelse av det arbeidet hundrevis av gruppeteoretikere har gjort gjennom flere generasjoner, skriver Sletsjøe for Vitenskapsakademiet.

Foto: Nina Kristiansen
Foto: Nina Kristiansen

Thompson og Tits har gitt ”dype og banebrytende bidrag” til dette feltet på hver sin kant, innenfor hver sin gren av gruppeteorien. De to matematikerne har aldri publisert noe sammen.

- Gjennom nye konstruksjoner har de beriket vårt syn på gruppeteoriens skjønnhet, og gjennom resultater har de gitt oss fornyet innsikt i de skjøre strukturene som ligger til grunn for teorien, skriver Sletsjøe.

- Fellesnevnere for Thompson og Tits sine resultater, er den enorme betydningen de har hatt for utviklingen av vår kunnskap innen algebra og tilstøtende fagfelt. Deres originalitet og dype forståelse har blidratt til en innsikt som ikke en gang de to selv kunne overskue, skriver han.

Vitenskapsakademiet har flere artikler som forsøker å gi en populærvitenskapelig beskrivelse av arbeidene til Thompson og Tits. For deg som har lyst til å finne ut mer - her finner du lenkene:

Lenker:

Abelprisens egne nettsider: Prisvinnere 2008

abelprisen.no: Løsning av Rubiks kube på sekunder ved hjelp av gruppeteori

abelprisen.no: ”For å ha formet moderne gruppeteori”

abelprisen.no: Et historisk utsyn over gruppeteorien

abelprisen.no: En kort innføring i gruppeteori

abelprisen.no: Thompson og Tits, Abel og Lie

abelprisen:no: Om hvorfor Thompson er tildelt Abelprisen for 2008

abelprisen:no: Om hvorfor Tits er tildelt Abelprisen for 2008

abelprisen.no: Abelkomiteens begrunnelse