Bekjemper køer med matte

Hvordan unngår man trafikkorker eller kø i butikken? En forsker fra Danmarks Tekniske Universitet viser vei med matematisk køteori.

Publisert
Hvordan unngår man trafikkorker? (Illustrasjonsfoto: Colourbox)
Hvordan unngår man trafikkorker? (Illustrasjonsfoto: Colourbox)

Slik beregner man køen i en matbutikk:

Den matematiske funksjonen over sannsynligheten for kø i supermarkedet er avhengig av forskjellige variabler. I denne enkle modellen bruker Zeng tre variabler:

λ er det gjennomsnittlige antallet kunder som ankommer til køen per tidsenhet

μ er gjennomsnittlige antallet kunder kassadamen kan betjene per tidsenhet

S er antallet kassadamer

Funksjonen for køen har Zeng innkodet i et dataprogram. Hvis man setter inn tre verdier i funksjonen:

λ = 10 personer per minutt

μ = 6 personer per minutt

S = 2

Modellen kan da fortelle:

1. Den gjennomsnittlige tiden kunden bruker i køen er ca. 22,7 sekunder

2. Det står gjennomsnittlig 3,78 personer i kø. Hvis man tar kunder som blir betjent, er tallet 5,45 personer.

3. Det er 9 prosents sjanse for at ingen står i kø.

4. Det er under 10 prosents sannsynlighet for at mer enn 13 personer vil vente i køen.

På forskeren Kebin Zengs kontor i Lyngby i Danmark henger en hvit tavle full av matematiske formler og funksjoner. Det ser komplisert ut, men det handler om å løse problemer de fleste kjenner – køen på supermarkedet eller ventetiden på busser og tog.

– Man kan si at jeg gjør om hverdagen til matematiske modeller. Målet er å forbedre hverdagen slik at folk ikke trenger å kaste bort tid i køer og trafikkorker, forklarer Zeng, som er doktorgradsstudent ved Institut for Informatik og Matematisk Modellering ved Danmark Tekniske Universitet i Lyngby.

Han vil forbedre modellene som brukes til å beregne sannsynligheten for køer på for eksempel supermarkeder eller postkontorer.

– Man vil for eksempel kunne bruke modellene til å lage en app til iPhone hvor man kan se når på dagen man bør handle for å unngå lange køer. Eller hvilken butikk det er mest køer i, forklarer Zeng.

Kø ved telefonene

Det er mange som har arbeidet med dette problemet tidligere. Den såkalte køteorien har mer enn et århundre bak seg.

Teorien ble grunnlagt av den danske matematikeren og ingeniøren Agner Krarup Erlang.

Erlang var utdannet ved Københavns Universitet, og han ble i 1908 ansatt ved telefonselskapet Kjøbenhavns Telefon Aktieselskab. Her studerte han sannsynligheten for at alle telefonlinjer var opptatt, slik at kundene måtte vente.

Kan brukes til vaktplaner

Erlangs studier førte til utviklingen av en matematisk modell som senere ble brukt i mange land. Kebin Zeng videreutvikler i dag disse teoriene.

Kebin Zeng setter ulike variabler i for eksempel en supermarkedskø, inn i en matematisk funksjon. Dermed kan han regne ut når det er minst sannsynlighet for å havne i en kø, hvor mange mennesker som vil stå i køen og så videre. Se de detaljene i boksen under artikkelen. (Foto: (Grafikk: Mette Friis-Mikkelsen))
Kebin Zeng setter ulike variabler i for eksempel en supermarkedskø, inn i en matematisk funksjon. Dermed kan han regne ut når det er minst sannsynlighet for å havne i en kø, hvor mange mennesker som vil stå i køen og så videre. Se de detaljene i boksen under artikkelen. (Foto: (Grafikk: Mette Friis-Mikkelsen))

– Jeg forsøker blant annet å forbedre modellene ved å ta høyde for at det kan sitte både langsomme og raske medarbeidere ved kassene i et supermarked, sier Zeng.

Modellene kan for eksempel brukes når man lager vaktplaner i en matbutikk.

– Daglig leder av en butikk kan for eksempel bestemme at det maksimalt skal være fem minutters ventetid ved kassen. Modellen kan fortelle hvordan det er mulig med så få ansatte som mulig, forklarer Zeng.

Ren sannsynlighetsregning

Køteorien er en del av en matematisk disiplin de fleste har vært borti på skolen – sannsynlighetsregningen. Den sannsynlige ventetiden i køen kan uttrykkes som en funksjon av forskjellige variabler.

Det kan for eksempel være antallet åpne kasser, antallet kunder i en gitt tidsperiode og kapasiteten til en bestemt kassadame.

Foreløpig kan Zengs modeller håndtere for eksempel antall kunder på et bestemt tidspunkt på døgnet.

Han understreker imidlertid at modellene må fôres med data fra den virkelige verden.

– Men det er enkelt å skaffe. Det er ren statistikk; man bare stiller seg opp og teller. Det vanskelige er å bygge modellene slik at de blir så presise som mulig, sier Zeng.

Unngå trafikkorker

Zeng vil også beskrive sannsynligheten for ventetider innen offentlige transport.

Som eksempel nevner han en reise fra Nørreport Station, i København, til Lyngby. Trafikkselskapenes vanlige system vil foreslå at man tar en buss hvis det (i forhold til de planlagte kjøretidene) er den raskeste løsningen.

– Men det tar ikke høyde for fenomener som trafikkorker. Basert på tidligere erfaringer kan man stille opp modeller som viser at bussen med stor sannsynlighet vil bli forsinket, for eksempel i morgentrafikken. Derfor vil modellen vår kunne fortelle at det er større sannsynlighet for å nå fram i tide hvis man venter litt lenger og tar det neste toget i stedet, sier Zeng.

Han forklarer at man også kan legge inn risikoen for kansellerte avganger eller kø ved stoppestedet.

Åpen programvare

Trafikksystemene passer ikke til køteorien, så her bruker Xeng såkalte Markov-kjeder.

Det er et matematisk system som er kalt opp etter den russiske matematikeren Andrej Markov, og som er flittig brukt innenfor statistikk og sannsynlighetsregning.

Når ph.d.-prosjektet hans blir ferdig i høst, vil modellene være innkodet i programvare. Den vil være tilgjengelig som såkalt åpen kildekode – det vil si at programmene gratis kan brukes og modifiseres.

Kebin Zengs tavle ser overveldende ut, men det er svært jordnære problemer – som køer og trafikkorker – han arbeider med. (Foto: Kebin Zeng)
Kebin Zengs tavle ser overveldende ut, men det er svært jordnære problemer – som køer og trafikkorker – han arbeider med. (Foto: Kebin Zeng)

– Et supermarked kan for eksempel bruke modellen. De kan bare sette inn egne data, og så kan programvaren levere resultatene, forklarer Zeng.

© Videnskab.dk. Oversatt av Lars Nygaard for forskning.no.