Husker du enere, tiere og hundrer fra de første timene i matematikk? Hvordan vi bygget dem sammen og fikk 11, 53 eller 274?

For mange av oss er det vanskelig å forestille seg at det går an å telle på noen annen måte enn vårt titallsystem. Dette systemet er bygd rundt grunntallet 10: Vi har egne tall fra 1 til 10, og så begynner vi å bygge på neste tier.

Nesten alle folkeslag i verden har et slikt tellesystem, antageligvis basert på de ti fingrene våre. Det finnes sikre spor etter titallsystemer minst tilbake til år 3400 f. Kr. Men i prinsippet kan du altså ha et hvilket som helst grunntall i tallsystemet.

Likevel teller ingen med 4 eller 17 som grunntall. Det er imidlertid ett annet tallsystem som er blitt svært vanlig i de siste tiåra: Totallsystemet – eller binære tall. Dette systemet har to som grunntall. Og det er slike binære tall som er grunnlaget for all datateknologi.

Brukte totallsystem på 1400-tallet

Ifølge historien ble totallsystemet først beskrevet av den tyske matematikeren Gottfried Leibniz rundt år 1700. Han la også ut om systemets fordeler innenfor regning. Og ulempene – som forferdelig lange tall (se faktaboksen).

Siden den gang har få andre enn matematikere og datafolk hatt noen nevneverdig kontakt med totallsystemet.  Men betyr det at et slikt system bare kan utvikle seg i teknologiske og høyt opplyste samfunn? 

Niks, mener forskerne bak en ny undersøkelse av et folkeslag på øya Mangareva i Fransk Polynesia. Dette folket tok nemlig et slags binærsystem i bruk lenge før Leibniz, sannsynligvis før 1450, på et tidspunkt hvor øyboerne verken kunne skrive ord eller tall.

- Vi tror de fant det opp nettopp fordi de ikke skrev. De gjorde kompliserte utregninger i hodet som la stort arbeidspress på hjernens arbeidsminne. Tellesystemet deres gjorde oppgavene enklere, sier Andrea Bender fra Universitetet i Bergen til forskning.no.

Hun har sine tanker om hvorfor det var akkurat folket på denne polynesiske øya som fant opp et så intrikat tellesystem. Men først litt om selve matematikken.

Totallsystem inne i et titallsystem

Det er ikke noe fullblods binærsystem folkene på Mangareva brukte. De baserte seg nemlig på et vanlig titallssystem. Men inni dette systemet finner vi et totallsystem, forklarer Bender.

- De har altså binære trinn midt i desimalsystemet, sier hun.

Først telte øyboerne som oss: De brukte tallord fra 1 til 9. Tallet 10 kalte de takau, 11 er takau + 1 og så videre. Men når vi kommer til 20 skjer det noe.

Tallet 20 – paua – ble nemlig også brukt som en toer-enhet i totallsystemet. Man kan si at folkene pakket inn og gjemte to enheter på ti i dette tallet, og så kunne de regne med det bare som en toer.

Noe tilsvarende gjelder ordet for 40 – tataua. I dette ordet lå det gjemt fire enheter på ti, og tataua kunne brukes som en firer-enhet i totallsystemet. Tallet 80 – varu – ble på samme måte en åtter-enhet i totallsystemet. (Se faktaboksen.)

Slik fikk øyboerne pakket sammen mange tiere inn i enkle tallord som de kunne bruke til å regne med på samme måte som man regner i et totallsystem. Fordelen ved dette er at det er lettere å regne i hodet med totallsystemet.

Når du skal legge sammen flere tall i titallsystemet, for eksempel 257 + 74 + 16 + 98, ender du opp med ulike tall i mente som du må huske til neste stritt av regningen. Det kan være temmelig krevende for arbeidsminnet.

Når du legger sammen tall i totallsystemet, blir dette mye enklere. Du forholder deg bare til en eller null, så enten er det én i mente, eller så er det ikke én i mente.

Og i stedet for å forholde seg til et stort tall som 246, kunne øyboerne huske 3 varu + 6. 

Bender og kollega Sieghard Beller ved UiB tror dette systemet hadde sine fordeler for folk som skulle ha mange tall i hodet på en gang. Og det skulle folket på Mangareva ofte.

Høstet og handlet

Det har bodd folk på Mangareva fra rundt 500-tallet. Da europeerne kom rundt år 1800, talte de 1 500 innbyggerepå øya. Men tallet kan ha vært oppe i 8 000 til andre tider. Øyfolket har levd av fisk og sjømat, og planter som brødfrukt, rotgrønnsaker, kokosnøtter og ulike typer bananer.

I det strengt hierarkiske samfunnet var det nødvendig å holde styr på maten som ble høstet og lagret, og fordelinga av godene til hverdag og fest.

Dessuten handlet folket fra Mangareva med mennesker fra andre øyer, som Pitcairnøyene, Cookøyene og til og med Hawaii. Også her var det viktig å holde orden på varebeholdning og betaling.

Det er da også rapportert at mennesker fra Polynesia generelt var opptatt av store tall og riktig telling. Det er beskrevet tilfeller hvor over 12 000 kokosnøtter ble nøyaktig fordelt. Og det er fortalt at menneskene på Tahiti pleide å spille tellespill for moro skyld.

Bare for spesielle ting

En fascinerende detalj ved det blandede tellesystemet på Mangareva, er at det kun ble brukt til å telle et knippe høyt verdsatte varer: Skilpadder, fisk, kokosnøtter, blekkspruter og brødfrukt. Alt annet ble talt på vanlig vis, med et normalt titallssystem.

Bender forteller også at det er flere spesielle trekk ved beregninger av disse varene. Med unntak av skilpadder, ble de nemlig ikke talt en og en – men i enheter - tauga.

En enhet fisk var to, en enhet kokosnøtter og en viss type brødfrukt talte fire, og en enhet blekksprut og en annen type brødfrukt talte åtte. Fikk du 12 tauga kokosnøtter satt du altså igjen med 48 stykker.  

Hele dette systemet var med på å fremheve den spesielle statusen til disse varene, mener Bender og Beller.

Tallsystemet på Mangareva viser at kultur spiller en viktig rolle i utviklinga av tallforståelse.  Hvis kulturen ikke krever det, er det ikke noen selvfølge at menneskesamfunn skal utvikle omstendelige tellesystemer. Noen samfunn mangler slike systemer helt.

Men forskerne mener funnet gjør en gammel antagelse til skamme:

Bruken av store tall og nøyaktig telling på Mangareva henger hverken sammen med avansert teknologi eller evnen til å lese og skrive, to faktorer som lenge har vært ansett som sentrale for utviklinga av tallforståelse, skriver forskerne i PNAS.

Utdødd regnemåte

I dag er det spesielle tellesystemet på stillehavsøya imidlertid borte.

- Det gikk ut av bruk for rundt 100 år siden, forteller Bender.

Da introduserte franske misjonærer skole med skriving og regning på europeisk vis. Dermed sluttet folk å bruke det blandede tellesystemet.

- Det var lagd for å klare mentale beregninger uten å notere noe. Da folk lærte å skrive ble systemet overflødig. Fordelene ved å kunne lese og skrive er alt i alt større, men det er synd at vi ikke kan studere det gamle tellesystemet i bruk, sier forskeren.

Hun og kollegaen har i stedet undersøkt historiske kilder hvor tellemåten er godt beskrevet.

Sånn sett er det litt interessant at de to forskerne presenterer funnet i dag.

- Dette er jo egentlig ikke nytt – systemet har jo vært dokumentert i hundre år. Men ingen har tenkt på hva det betyr. Vi jobbet med å sammenligne flere polynesiske systemer, og så det fra et annet perspektiv.

- Vi tenkte: Hvilke grunner kan de ha hatt for å gjøre det på denne måten, og så skjønte vi at dette var noe veldig spennende.

Referanse:

A. Bender & S. Beller, Mangarevan invention of binary steps for easier calculation, Proceedings of the National Academy of Sciences, Online Early Edition, 16. desember 2013.