Matematikk og håndflater

Årets vinner av Abelprisen, Mikhail Gromov, har sin hovedinteresse innenfor fagfeltet differensialgeometri.

Publisert

Arne Bernhard Sletsjøes

I anledning offentliggjøringen av vinneren av Abelprisen 2009, har forskning.no invitert Arne Bernhard Sletsjøe til å skrive to artikler om vinneren.

Sletsjøe er førsteamanuensis ved Matematisk institutt ved Universitetet i Oslo.

Arne Bernhard Sletsjøes hjemmeside.
 

Differensialgeometri er den delen av geometri der objektene man studerer er glatte og gjerne krumme, slik som kurver, flater eller høyere-dimensjonale mangfoldigheter.

Mikhail Gromov er en av verdens matematikere som med størst autoritet kan bevege seg i dette landskapet av matematisk kunnskap.

Hans resultater baserer seg på stor fagkunnskap og evne til å se sammenhenger, og han er kjent for smittende faglig entusiasme.

Men kanskje er Gromos viktigste egenskap den geometriske intuisjonen, det at man kan ”se” teorien for seg, at lange matematiske formler former bilder for det indre øyet og at teoriene blir levendegjort.

Flater og kurver

Objektene i differensialgeometrien kan ha en tilleggsstruktur, for eksempel en Riemannsk metrikk. En Riemannsk metrikk på en flate er akkurat det ekstra verktøyet vi trenger for å kunne måle avstander og vinkler på flaten.

En flate med en Riemannsk metrikk kalles en Riemannsk flate. Alle begreper med forstavelsen Riemannsk er oppkalt etter den tyske matematikeren Bernard Riemann (1826-1866).

Et av de mest fundamentale begrepene knyttet til Riemannske flater er krumning. Begrepet ble først studert av Leonhard Euler (1707-1783), men det var Carl Friedrich Gauss (1777-1855) som utviklet teorien og introduserte ulike varianter av begreper, slik som for eksempel middelkrumningen som summen av minimums- og maksimumskrumningen i punktet.

Vi skal se på tre eksempler på relativt praktiske problemstillinger, men som hver for seg gir innblikk i den kraften som ligger innbakt i det begrepsapparatet Riemannsk geometri presenterer oss for. Perspektivet i de tre eksemplene kan lære oss noe om Mikhail Gromov.

Ståltråd i såpevann

Den fransk-italienske matematikeren Joseph-Luis Lagrange (1736-1813) stilte i 1760 følgende spørsmål: Gitt en lukket kurve i rommet, hvordan ser flaten ut som har denne kurven som sin rand og som har minimalt areal? En slik flate kalles en minimalflate.

Svaret på spørsmålet ble gitt av den litt mer ukjente matematikeren Jean Baptiste Meusnier (1754-1793) 16 år senere. Han viste at en flate er minimal hvis og bare hvis middelkrumningen til flaten er 0.

Minimalflater opptrer på en naturlig måte i naturen. Ved å dyppe en ståltråd formet som den aktuelle kurven ned i såpevann, vil såpefilmen som dannes når vi tar tråden opp av vannet beskrive minimalflaten som svarer på spørsmålet.

Bensinstasjoner i sirkler

Toppsjefen i Exxon har som sin visjon at selskapets bensinstasjoner skal være jevnt fordelt ut over hele det amerikanske kontinentet. Han tegner sirkler på kartet med sentrum i hovedkvarteret og med radius 100km, 200km, 300km osv.

Så ber han sine ansatte om å telle bensinstasjonene innenfor hver sirkel. Arealet er proporsjonalt med kvadratet av radiusen, så antallet stasjoner skulle dermed vokse som 1, 4, 9, 16, …

Etter noe tid er resultatene fra tellingen klare. Tilsynelatende er bensinstasjonstettheten størst i nærheten av hovedkvarteret og avtar jo lenger man kommer unna.

Men de ansatte har funnet noe annet interessant; at hvis de gjør samme type telling med utgangspunkt i et helt annet sentrum, ja, så får de samme type resultat. Det er alltid flest stasjoner nærmest sentrum, og færre lenger unna i forhold til den forventede fo¬delingen 1,4,9,…

Dette er ikke noe paradoks, det forteller snarere at den kuleformede jordoverflaten overalt har positiv krumning.

En helt vanlig menneskearm

Vi betrakter en arm, en ganske vanlig menneskearm. Kuleleddet i skulderen gir oss en viss rotasjonsfrihet og de to knoklene i underarmen, radius og ulna, gir håndleddet nok frihet til at vi kan vri om et dørhåndtak.

Vi skal holde oss til rotasjoner i skulderen og holde håndleddet i ro. Prøv å gjøre følgende bevegelse: Hold armen rett foran deg, hånden åpen, fingrene samlet og håndflaten pekende nedover.

Mens du holder alt i samme stilling, løfter du armen ved hjelp av skulderleddet til armen peker rett opp, omtrent som hos skolebarn som har noe å si. Roter skulderen stivt videre til armen peker rett ut, som om du skulle vært korsfestet bare på den ene siden.

Bruk så til slutt skulderleddet til å rotere armen tilbake til utgangspunktet. Håndflaten peker nå til siden i stedet for nedover, slik den gjorde i da vi startet. Du har altså rotert håndleddet ved å flytte armen langs en sfærisk trekant, uten å bruke rotasjonsfriheten i håndleddet.

Prof. Mikhail Leonidovich Gromov (Foto: Kyoto Prize)
Prof. Mikhail Leonidovich Gromov (Foto: Kyoto Prize)

Gjør det nå, ved å vri håndleddet til håndflaten igjen peker nedover. Kjenn at musklene i underarmen gjør en jobb som de slapp å gjøre ved den første bevegelsen.

Siden du har flyttet hånda langs en trekant på en kuleflate, med armen som radius, så har krumningen til kula vridd håndleddet 90 grader, uten at du merket det.

Hvis du hadde gjort det samme langs en flate uten krumning ville hånden med nødvendighet ha kommet tilbake til utgangspunktet med samme vridning som da den startet. Dette er et eksempel på det som innen differensialgeometrisk sjargong kalles parallell transport langs en sfærisk trekant.

Differensialgeometri er selvfølgelig mye mer enn minimalflater, fordeling av bensinstasjoner og vridning av håndflater bare ved å bruke skulderleddet.

Differensialgeometri er en hel vitenskap med forgreninger i underliggende felt og med forbindelseslinjer til andre fag, der Gromov er en av de fremste