Et puslespill, et puslespill, med helt identiske femkanter. Og slik fortsetter det og fortsetter det og fortsetter det i det uendelige.

Ny femkant blåser liv i gammel gåte

Det er 30 år siden forrige gang noen fant en konveks femkant som kan pusles i det uendelige. Et lite skritt for matematikken – et stort skritt for baderomsfetisjister.

1.9 2015 05:00

Legge fliser, kaller du det, når du dekker et gulv med identiske puslespillbrikker av keramikk.

I matematikken heter dette tessellering – å dekke et plan med uendelig mange identiske figurer. Brikkene må ikke overlappe hverandre og det må heller ikke bli gapende åpninger mellom dem. Akkurat slik som du, etter beste evne, prøver på badegulvet.

Det er ikke tilfeldig at de fleste gulvfliser er firkantet. Alle figurer med fire sider og fire hjørner er nemlig mulige å pusle sammen i det uendelige, helt uten gap og overlappinger. Det samme gjelder alle trekanter.

Også regulære sekskanter fungerer fint. At den er regulær, betyr at alle sidene er like lange, og at alle vinklene er like store. Se for deg en bikube eller en hønsenetting.


Man trenger ikke være matematiker for å se at både trekanter, firkanter og sekskanter kan dekke en uendelig flate.

Det finnes også ikke-regulære sekskanter som oppfyller kravene, men allerede i 1963 ble det bevist at det bare finnes tre typer konvekse sekskanter som kan dekke en flate.

At de er konvekse, betyr at alle hjørnene må peke utover. Eller mer komplisert: At dersom du trekker en rett linje mellom to punkter i figuren, så må hele linja holde seg innenfor figuren, ikke krysse noen av sidene.


I den konvekse femkanten til venstre vil enhver linje mellom to punkter i figuren holde seg innenfor de fem sidene. Til høyre en ikke-konveks femkant med ett av mange eksempler på at en linje mellom to punkter kan bevege seg utenfor.

Verken sju-, åtte- eller noen som helt andre-kanter er brukelige. Nettopp derfor er matematikere mest interessert i femkanten, eller pentagon som det også kalles.

«Det er den eneste av gon-ene som ennå ikke er fullt ut forstått», skriver matteblogger Alex Bellos i The Guardian.

I motsetning til tre-, fire og sekskanter, så blir det ikke pent med den regulære femkanten. Den fører fort til overlappinger eller uønskede hull.


Den får det ikke helt til, den regulære femkanten. Enten blir det gapende hull, som til venstre, eller så blir det grove overlappinger, som til høyre.

Men hvis vi løsner litt på kravene og lar vinkler og lengder variere litt, åpner det seg noen muligheter. Både for matematikere med formler og logiske bevis og for lekfolk med saks og papir. Husk kravet om at femkantene skal være konvekse før du begynner å klippe.

Det enkleste er å dele en regulær sekskant på midten. Da sitter vi igjen med to helt like femkanter. Siden disse to til sammen utgjør en regulær sekskant, vil slike femkanter også kunne dekke planet i det uendelige.


Til venstre: Slik lager du to identiske femkanter av en regulær sekskant. Til høyre: Du kjenner igjen hønsenettingen, ikke sant?

Varianter av denne måten å lage femkanter på utgjør én av typene femkanter som funker. Fram til i sommer fantes det totalt bare 14 slike typer, og ingen kunne med sikkerhet si om det fantes flere eller ikke.

Heller ikke matematikerne Casey Mann og Jennifer McLoud-Mann ved University of Washington Bothell. Sammen med dataprogrammerer David Von Derau satte de datamaskiner inn i jakten.

– Dataprogrammet vårt kunne ha fortalt oss at det ikke var flere femkanter å finne med de egenskapene vi var ute etter, og vi ville vært fornøyd med i det minste å vise så mye, sier Casey Mann i en e-post til forskning.no.

Jubelen sto derfor i taket da denne dukket opp:


Femkant til venstre. Definisjon til høyre.

Slik skrev Mann, McLoud-Mann og Von Derau navnene sine inn i matematikkhistorien.

En husmor til unnsetning

Den tyske matematikeren Karl Reinhardt beskrev den første og fire andre typer i 1918. Men ingen kunne bevise at dette var det endelige antallet eller om det måtte finnes flere. Det tok 50 år før Richard Kershner kom med tre nye typer, og i 1975 la Richard James til den niende.

Denne ga inspirasjonen til neste framskritt, som kom fra uventet hold. Den matteinteresserte husmoren Marjorie Rice leste om funnet til James i en av sønnens Scientific American. Uten skolering ut over videregående skole fant hun fire typer til i løpet av de neste årene.


Mathematical Association of America har flislagt gulvet i foajeen i hovedkontoret sitt i Washington, D.C. til ære for Marjorie Rice. Dette er én femkantene den amerikanske husmoren oppdaget.

I 1985 lanserte Rolf Stein nummer 14, den foreløpig siste før sommerens gjennombrudd. Og ennå vet ingen om det finnes et endelig antall femkanter som kan pusles sammen uten gliper og bretter. Er dette alle? Finnes det to–tre eller kanskje fire til? Eller finnes det mange tusen? Eller uendelig mange?

– Vi leter fortsatt, sier Casey Mann. Men han tør ikke spå om de finner flere konvekse femkanter som passer sammen.

– Jeg håper vi finner flere fordi dette vil bringe oss nærmere en komplett klassifisering av konvekse femkanter som kan dekke en flate. Eller nærmere å bevise at en slik klassifisering er umulig.


Her er alle de 15 kjente typene av konvekse femkanter som kan dekke et uendelig plan.

Mattebegeistring

For en baderomsfetisjist som har vært frustrert over det begrensede utvalget av femkantede fliser, er både oppdagelsen av nummer 15 og den videre jakten strålende nyheter. På spørsmål om praktisk betydning svarer Mann ærlig:

– Jeg kan ikke tenke på noen umiddelbare anvendelser av denne femkant-tesselleringen.

– Men en nyttig effekt av funnet er den begeistringen det har skapt for matematikk, spesielt blant unge mennesker. Jeg har fått flere meldinger fra foreldre til barn helt ned til seks år som fortalte meg at barnet deres har lest om våre funn og blitt motivert til å forsøke å finne nye typer femkanter selv, sier han til forskning.no.

Nøternt beskriver han femkanten som enda en brikke i vår forståelse av de kompliserte måter former kan passe sammen på. Denne delen av matematikk brukes for eksempel innenfor krystallografi, læren om hvordan atomer er organisert i faste materialer.

– Mange ting vi ser i naturen er satt sammen av mange identiske «former», derfor er det viktig å forstå den kompleksiteten i hvordan former passer sammen, sier Mann.

Lenke:

Her kan du lese mer detaljerte beskrivelser av de 14 første femkantene: The 14 Different Types of Convex Pentagons that Tile the Plane

forskning.no ønsker en åpen og saklig debatt. Vi forbeholder oss retten til å fjerne innlegg. Du må bruke ditt fulle navn. Vis regler

Regler for leserkommentarer på forskning.no:

  1. Diskuter sak, ikke person. Det er ikke tillatt å trakassere navngitte personer eller andre debattanter.
  2. Rasistiske og andre diskriminerende innlegg vil bli fjernet.
  3. Vi anbefaler at du skriver kort.
  4. forskning.no har redaktøraransvar for alt som publiseres, men den enkelte kommentator er også personlig ansvarlig for innholdet i innlegget.
  5. Publisering av opphavsrettsbeskyttet materiale er ikke tillatt. Du kan sitere korte utdrag av andre tekster eller artikler, men husk kildehenvisning.
  6. Alle innlegg blir kontrollert etter at de er lagt inn.
  7. Du kan selv melde inn innlegg som du mener er upassende.
  8. Du må bruke fullt navn. Anonyme innlegg vil bli slettet.

Annonse

Gonmania

Polygon = mangekant

Trigon = trekant

Tetragon (kvadrilateral) = firkant

Pentagon = femkant

Heksagon = sekskant

Heptagon = sjukant

Oktogon = åttekant

Enneagon = nikant

Dekagon = tikant

Hendekagon = ellevekant

Dodekagon = tolvkant

(Kilde: Wikipedia)