Hvordan krumme en flate til en smultring uten å krumme den? Først i 2012 kunne datamaskiner simulere og vise fram svaret, 58 år etter at John Nash hadde sett det for sitt indre øye.

John Nash og den flate smultringen

Hvorfor får John Nash og Louis Nirenberg Abelprisen? Svaret tar oss gjennom hyssingsløyfer og over krøllete papirark, som blir til en smultring.

25.3 2015 12:00

– Tenk deg at du er et vesen som lever inne i en hyssing, sier førsteamanuensis Arne Sletsjøe på Matematisk institutt ved Universitetet i Oslo.

Sletsjøe er vår veiviser inn i de underlige landskapene, som stort sett er lukket for andre enn matematikere.

Noen ganger er landskapene også vakre. Filmen om livet til John Nash fikk da også tittelen A Beautiful Mind.

Sletsjøe vil gjerne prøve å åpne disse landskapene for alle oss andre.

Uendelig tynn hyssing


Arne Sletsjøe.

– Denne virkelige hyssingen er bare en grov etterligning av det vi skal se for oss, advarer Sletsjøe. – Tenk deg at hyssingen er uendelig tynn. Den har faktisk ikke noen tykkelse i det hele tatt. Den er bare en kurve.

I matematikkens landskap finnes slike kurver. De har bare utstrekning langs linjen som tegner kurven.

Se for deg at det finnes skapninger som lever inne i denne kurven. Vi kunne kalle dem hyssingfolket.

– Hyssingfolket aner ikke noe om høyde og bredde. De kan bare bevege seg langs kurven. De er endimensjonale, sier Sletsjøe.

Det tapte hyssingparadis

Han vil vise hva han mener. Derfor legger han hyssingen på et papirark. Arket er flatt. Sletsjøe lar hyssingen gjøre buktninger på arket.


Hyssingfolkene kan beskrive formen på hyssingkurven uten å vite om – eller bruke – de to dimensjonene til det flate arket.

– Arket har to dimensjoner. Det har både lengde og bredde. Men uansett hvordan vi lar hyssingen bukte seg i de to dimensjonene på arket, så vil ikke hyssingfolkene merke noe til det, sier han.

Det er ikke noe inne i hyssingen, i den endimensjonale kurven, som sier noe om hvordan den bukter seg i to dimensjoner. Det vil si – ikke før Sletsjøe legger den i en sløyfe over seg selv.

– Se der! Kurven krysser seg selv i sløyfen. Hva vil hyssingfolket oppdage akkurat der? Jo – de står plutselig ved et veikryss, sier Sletsjøe.


Når hyssingen ligger i en flat sløyfe, opplever det endimensjonale hyssingfolket noe som bare kan forklares ved å ta i bruk flatens to dimensjoner.

Nå kan de virkelig gløgge hyssingfolkene – en matematiker i Hyssingland om du vil – resonnere seg til at det må finnes noe slikt som en flate utenfor hyssingen.

Med andre ord: Flaten som hyssingen ligger på, er blitt en del av den teoretiske beskrivelsen av hyssingen. Det endimensjonale paradiset er tapt for alltid. Men kanskje er hyssingfolket glad for å få et innblikk i et univers med to dimensjoner?

Ut av trengselen

I motsatt fall så er det faktisk en vei tilbake til paradiset. Den krever at hyssingen får sno seg i flere enn to dimensjoner.

Sletsjøe løfter den ene enden av hyssingen opp fra arket. Nå ligger ikke kurven bare i arkets lengde og bredde. Hyssingen stiger opp i den tredje dimensjonen – høyde.


Sløyfen løftes opp i den tredje dimensjon. Dermed kan hyssingen, altså kurven, igjen beskrives bare ut fra sin ene dimensjon.

­– Se hva som har skjedd med sløyfen, sier han ivrig. Nå berører ikke hyssingen seg selv lenger. Den endimensjonale hyssingmatematikeren kan igjen beskrive kurven bare ut fra én dimensjon.

Med andre ord: Med flere dimensjoner blir det lettere for den lavere dimensjonen å sno seg som den vil. Den trenger ikke å bry seg om de høyere dimensjonene. Flere dimensjoner gir bedre plass.

Sylinderen i Flatland

Så legger Sletsjøe hyssingen til side og griper om papirarket. Dette var bare de innledende, forsiktige skrittene inn i en ny verden. Nå skal vi klatre videre oppover i fotsporene til John Nash og Louis Nirenberg. Vi skal klatre opp en dimensjon – fra hyssingen til papiret, fra kurven til flaten.


Flatlenderen merker ikke at det flate arket er krummet til en sylinder i den tredje dimensjon.

– Tenk deg at dette arket er et land. Vi kan kalle det Flatland, sier han. – Akkurat som folkene i Hyssingland bare kjente til en dimensjon, så kjenner folkene i Flatland bare til arkets to dimensjoner, bredde og lengde.

Sletsjøe bøyer arket i en retning, slik at to av endestykkene møtes. Han har laget en sylinder.

– Nå har vi bøyet det flate arket slik at det lager en geometrisk form i tre dimensjoner. Sylinderen har både bredde, lengde og høyde. Men vet flatlenderne noe om det? Nei. For dem er livet i flaten uendret, sier han.

Med andre ord: Du trenger ikke å ta med den tredje dimensjon for å beskrive sylinderflaten.  Akkurat som da hyssingen snodde seg i lykkelig endimensjonal uvitenhet om to dimensjoner.

Den skrumpende sirkelen

Hvor lenge var Eva i Flatlands paradis? Arne Sletsjøe må tegne en annen form for å lage den todimensjonale versjonen av sløyfa som ødela endimensjonaliteten.


Til venstre: Flatlenderen går i en sirkel og måler omkretsen.Til høyre: Arket er krummet. Flatlenderen opplever at han går i den samme sirkelen, men omkretsen har blitt mindre.

Tenk deg at du er en flatlender på et flatt ark. Du skritter ut en bestemt avstand fra der du stod. Så bestemmer deg for å gå i en sirkel med denne avstanden som radius. Til slutt måler du hvor langt du har gått, altså omkretsen på sirkelen.

Så skjer det: Det flate arket bøyer seg i to retninger, vinkelrett på hverandre. Det krummer seg til en kule. Dette er selvfølgelig umulig i praksis med vanlig papir. Vanlig papir er ikke elastisk. Vi tenker oss at vi bruker elastisk gummipapir.

Du aner fred og ingen fare. Du går jo fortsatt bare rundt på flata, og vet ingenting om kula. Helt til du måler omkretsen på sirkelvandringen en gang til.

Hva er dette? Den har på uforklarlig vis blitt mindre. Målinger av lengde og bredde i Flatland er ikke de samme lenger.

En karttegner ville nikke gjenkjennende. Dette er karttegnerens store dilemma, om enn motsatt vei. Hvordan beholder du avstandene riktige fra en kuleflate til et flatt kart?

Karttegneren i Flatland får nå det samme problemet. Hvis han er riktig smart, kommer han opp med en forklaring: Det finnes en tredje dimensjon.

Med andre ord: Den tredimensjonale kulen som kuleflaten ligger på, er blitt en del av den teoretiske beskrivelsen av kuleflaten. Det todimensjonale paradiset er tapt.

Den flate smultring

Så tilbake til sylinderen. Flatlenderne på sylinderen lever ennå i uvitenhet om den tredje dimensjonen. Gjør du en sirkelvandring på sylinderen, så er omkretsen den samme som da arket lå flatt.


Sirkelen beholder omkretsen selv om det flate arket bøyes i tre dimensjoner til en sylinder.

Så kommer det vanskelige spørsmålet: Kan vi krumme sylinderen til en smultring – en torus på matematikkspråket – og fortsatt bevare flatlendernes uskyld?

Da måtte vi hatt det elastiske gummipapiret. Med andre ord: Det er ikke nok å bøye flaten langs en retning, som for sylinderen. Vi må bøye den langs to retninger. Vi må krumme den.

Da vil det vel gå som da flaten ble krummet til en kule? Flatlenderne blir nødt til å innse at det er en tredje dimensjon og ta denne tredje dimensjonen i bruk for å beskrive modellen av torusen.

– Det Nash og Nirenberg klarte, var å vise at svaret var nei, sier Sletsjøe.

Uendelig mange folder

Det går an å lage en smultring av en papirsylinder uten å krumme flaten, uten at flaten blir fordreiet, uten at lengdemål og breddemål ikke lenger stemmer for flatlenderne, uten at de trenger å bruke den tredje dimensjon for å beskrive smultringen, torusen. Men hvordan kan man gjøre det?

– John Nash beskrev det alt i 1954, men ingen har noensinne klart å gjøre det i praksis. Så vanskelig er det, at først i 2012 klarte et tverrfaglig team av franske forskere å lage bilder av de vakre formene, forteller Sletsjøe.

– Løsningen var nemlig å folde sylinderen gjentatte ganger langs to forskjellige retninger. Det var altså ikke nødvendig å brette papiret. Det ble bøyet, understreker han.

Hver bøyning er bare langs en retning. Den er altså ingen krumning. Du trenger ikke elastisk gummipapir. Jo flere og mindre bøyninger, desto nærmere smultringformen kommer sylinderen, fortsatt uten at flatlenderne aner noe som helst om hva som er i ferd med å skje.


Flytur over og gjennom den flate smultringen ved hjelp av datagrafikk fra Projet Hévéa.

Flere dimensjoner, bedre plass

Nå finner Sletsjøe fram hyssingstumpen igjen.  Han vil knytte forbindelsen oppover og nedover gjennom dimensjonene.

– Husk hvordan jeg la hyssingen i sløyfe på det todimensjonale, flate arket. Da ble hyssingboerne utstøtt av det endimensjonale teoretiske paradis. De måtte bruke to dimensjoner for å beskrive sin endimensjonale kurve, sier han.

– Først da jeg løftet hyssingen opp i den tredje dimensjonen, kunne de igjen beskrive sin egen verden endimensjonalt, fortsetter Sletsjøe.

Jo flere dimensjoner, desto bedre plass har de lavere dimensjonene til å utfolde seg uten å vite om de høyere eller måtte bruke dem for å beskrive seg selv teoretisk. Hva betyr det for sylinderen som vil bli en smultring?

Fire, fem og flere dimensjoner

– Så lenge den todimensjonale sylinderen bare har én ekstra dimensjon til rådighet, den tredje dimensjonen, blir det trangt, sier Sletsjøe.

– Men hvis vi hadde hatt enda flere dimensjoner til rådighet – fire, fem eller enda flere – ville det vært lettere å krumme sylinderen til en smultring uten at flatlenderne merket noe, fortsetter han.

Slike mangedimensjonale rom kan matematikere ubesværet tre inn i. Men hvordan ville det vært å oppleve dem med sansene?

Det ville vært like overveldende som hvis en hyssingmann eller en flatlender fikk oppleve å sveve ut i det tredimensjonale rommet.

Er det mulig? På en måte – ja. Vi kan projisere en firedimensjonal kube – en tesserakt – ned i rommets tre dimensjoner. Men gir det oss noen sanselig opplevelse av en fjerde dimensjon?

Egentlig ikke. Flatlenderen ville heller ikke blitt særlig klokere av å se bildet av en tredimensjonal terning på et flatt ark. Det gir bare mening for oss fordi vi har opplevd en tredimensjonal terning i virkeligheten.


Til venstre: Vi kan forestille oss at denne tredimensjonale terningen «popper» ut i rommet fra den flate skjermen, fordi vi selv er romlige, tredimensjonale. Til høyre: En firedimensjonal terning, en tesserakt, projisert ned i tre dimensjoner, og videre i to på skjermen, gir oss ingen opplevelse av dens firedimensjonale form, fordi vil selv ikke kan sanse og oppleve fire dimensjoner.

Hittil har vi gått i landskaper vi kan se for oss, landskaper med hyssinger, papirark, sylindre, kuler og smultringer. Matematikeren trenger å frigjøre seg fra slike bilder, fra geometriske former til rene tankemodeller.

Slik sett handler teoriene til Nash og Nirenberg om mye mer enn sylindre og smultringer. Når sylinderen blir til en smultring i stadig mindre foldinger, tilsvarer det en spesiell type ligninger.

Disse ligningene sier noe om hvordan de ukjente i ligningen varierer i forhold til hverandre. De kalles partielle differensialligninger. Dette er bare en del av hva de to vinnerne av Abelprisen har arbeidet med gjennom et langt matematikerliv.

Modeller, ikke virkelighet

Arne Sletsjøe legger fra seg arket og hyssingen. Med deres hjelp har vi vandret gjennom et landskap av kurver, flater, kuler, sylindre og smultringer. Landskapet er vakkert, men fjernt fra vårt daglige liv.

Hva kan vi bruke dem til, disse bildene som matematikere bygger opp i sine teoretiske landskaper?

– Aller først er det viktig å slå fast at matematikk lager teoretiske modeller som beskriver virkeligheten. Likevel – disse modellene er ikke virkeligheten, sier Sletsjøe.

Modellene er snarere tankekonstruksjoner som er nyttige for oss mennesker. De er nyttige for oss når vi skal prøve å samvirke med virkeligheten, gjennom forskerens eksperimenter og i arbeidshverdagen til teknologien, forskerens praktiske fetter.


Nærbilde av den flate smultringen, fra dataanimasjon.

Snarveier til praksis

Når det er sagt, er det deler av matematikken som det er vanskelig å se den praktiske nytten i.

– Matematikk er et strengt formelt språk, bygget på antatt selvinnlysende grunnsetninger eller aksiomer. Så lenge aksiomene og de logiske reglene følges, er alle utsagn gyldige, sier Sletsjøe.

Dette kan føre matematikeren ut i teoretiske landskaper, fjernt fra den praktiske nyttens larm. Det spennende med dette landskapet er at veien fra fjern teori til praktisk nytte kan være uventet kort. Veien kan også gå i overraskende slynger.

Spillteorier i et vakkert sinn

– Vitenskapen blir i stadig større grad tverrfaglig. Teoretiske mønstre fra én fagdisiplin, for eksempel økologi, kan dukke opp i en annen, for eksempel økonomi, sier Sletsjøe.

– John Nash ga oss et godt eksempel på dette. Før han arbeidet med å lage smultringer av flater, tok han sin doktorgrad på spillteori, fortsetter han.

– Denne forskningen ble brettet ut i filmen om ham, A Beautiful Mind. Den beskriver hvordan grupper av spillere med motsatte interesser utfolder seg.

– Resultatene er brukt for å analysere alt fra stormaktskonflikter og fotballkamper til valutakurser. Derfor fikk da også John Nash en nobelpris i økonomi i 1994, sier Sletsjøe.


Maktspill kan modelleres med spillteorien som John Nash utviklet. Det såkalte Nash-ekvilibrium beskriver løsningen som spillere med full kunnskap om hverandres strategier velger. Her møtet mellom to maktspillere i 1971, Kinas formann Mao Zedong og USAs president Richard Nixon.

Nye tanker møter gammel praksis

– De spennende koblingene mellom teori og praksis oppstår når teorier brukes på helt nye praksisfelter, fortsetter han.

Et godt eksempel på det er slipsknuter. Da matematikere analyserte slipsknuter, klarte de for første gang på mange hundre år å lage forslag til helt nye typer slipsknuter.

– Praktikere kan være låst i tradisjonstenkning. Matematikere kan hjelpe dem å riste løs tankene, og se problemene på helt nye måter, sier Sletsjøe.

– Grunnen til at John Nash og Louis Nirenberg får Abelprisen, er nettopp denne evnen til å tenke helt nye og dermed geniale tanker, sier han.

Lenker:

Abelprisen, norske nettsider

Projet Hévea, franske nettsider med digitale modeller av smultringen

Artikkelen ble oppdatert 26.03.2015, klokka 09.53.

forskning.no ønsker en åpen og saklig debatt. Vi forbeholder oss retten til å fjerne innlegg. Du må bruke ditt fulle navn. Vis regler

Regler for leserkommentarer på forskning.no:

  1. Diskuter sak, ikke person. Det er ikke tillatt å trakassere navngitte personer eller andre debattanter.
  2. Rasistiske og andre diskriminerende innlegg vil bli fjernet.
  3. Vi anbefaler at du skriver kort.
  4. forskning.no har redaktøraransvar for alt som publiseres, men den enkelte kommentator er også personlig ansvarlig for innholdet i innlegget.
  5. Publisering av opphavsrettsbeskyttet materiale er ikke tillatt. Du kan sitere korte utdrag av andre tekster eller artikler, men husk kildehenvisning.
  6. Alle innlegg blir kontrollert etter at de er lagt inn.
  7. Du kan selv melde inn innlegg som du mener er upassende.
  8. Du må bruke fullt navn. Anonyme innlegg vil bli slettet.

Annonse

Sagt på matematisk ...

I mattereisen med Arne Sletsjøe har vi bevisst sløyfet alle faguttrykk. Her er noen få, sett i lys av hva vi har skjønt.

Imbeddingsteorem

Tar for seg problemet med å legge et objekt inn i et annet uten å «ødelegge» objektet. For eksempel kan teoremet brukes til å finne ut om en sylinder kan legges inn i en smultring uten å «ødelegge» den rent todimensjonale beskrivelsen av sylinderen. I eksempelet med flaten som ble en kule, ble flaten «ødelagt», fordi målene på omkretsen av sirkelen ikke lenger stemte. Den tredje dimensjon måtte tas i bruk for å beskrive kula.

Isometrisk imbedding

Dette er en imbedding der alle avstander mellom punkt er bevart. Eksemplene våre på isometrisk embedding er hyssingen som snodde seg uten sløyfe i to dimensjoner, arket som ble en sylinder og sylinderen som ble en smultring.

Theorema Egregium

Det bemerkelsesverdige teorem er ikke Nash og Nirenbergs verk. Det ble formulert av Carl Friedrich Gauss allerede i 1827. Forenklet sier det at du kan beskrive kurven på en overflate bare ved å måle avstander og vinkler på overflaten selv, uten å bry deg om hvordan overflaten er krummet i det tredimensjonale rom. Med andre ord: Det samme som at flatlenderne kunne beskrive sylinderen uten å vite noe om den tredje dimensjon.

Abelprisen

Abelprisen blir utdelt for framifrå vitskapeleg arbeid i matematikk.

Prisen er oppkalt etter den norske matematikaren Niels Henrik Abel (1802-1829) og vart oppretta av Stortinget i samband med 200-års jubileet for Abels fødsel.

Prisen blir utdelt av ein komité innstilt av Det Norske Vitenskaps-Akademi. Den er i år på 6 millioner kroner.

Saker fra våre eiere

Universitetet i Stavanger

Frykt for ryktespredning hindrer mange unge i å søke hjelp for mentale problemer.

NIBIO

De er knøttsmå og blir ofte uglesett, men ikke alle er farlige for miljøet.

Havforskningsinstituttet

Det er konklusjonen etter at forskarar har gått gjennom all tilgjengeleg kunnskap om temaet.

Saker fra våre eiere

Statped

– Målet må vere at barn får den hjelpa og støtta dei treng, men at dei merker minst mogleg til tiltaka, seier forskar. 

Nasjonal kompetansetjeneste for aldring og helse

Symptomer som hukommelsessvikt kan ha flere årsaker enn de typiske sykdommene vi forbinder med demens.

Høgskolen i Oslo og Akershus
Podcast:

Hvordan kan du forberede deg til framtidas arbeidsliv? I denne podcasten gir to eksperter sine råd til både kommende og eksisterende arbeidstakere. 

Forskeren forteller:

Når ungdom presses til å drive med idrett, og voksne bestemmer hvordan de skal gjør det, da blir idrettsungdom lei. Men du kan unngå at barna dine mistrives, blir stresset og presterer dårlig på sikt.

Dinosaurenes historie må skrives om, sier britiske forskere etter en ny enorm analyse. Det vil uten tvil ryste fagfolk verden over, men hvis forskerne har rett, løser de flere uløste gåter.

Vitensentre – et sted for hodeløs knappetrykking, tråkking og sveiving – eller kunnskap? Nils Petter Hauan har forsket på hvordan skolegrupper kan lære noe.

Er 0,999… med uendelig mange desimaler mindre enn 1 eller lik 1? Både folk flest og lærerstudenter svarer typisk det samme.