Første og andre nivå i det uendelige arbeidet med å lage et Sierpinski-teppe. (Illustrasjoner: Johannes Rössel, Wikimedia Commons. Montasje: Eivind Torgersen)
Første og andre nivå i det uendelige arbeidet med å lage et Sierpinski-teppe. (Illustrasjoner: Johannes Rössel, Wikimedia Commons. Montasje: Eivind Torgersen)

Sierpinski-teppet: Uendelig stort, men uten innhold

Første og andre nivå i det uendelige arbeidet med å lage et Sierpinski-teppe. (Illustrasjoner: Johannes Rössel, Wikimedia Commons. Montasje: Eivind Torgersen)

Published

I år er det 100 år siden Waclaw Sierpinski presenterte formelen for teppet der små utsnitt kopierer større utsnitt i det uendelige. I dag kalles dette fraktaler, og noen av dem er så fascinerende vakre at det nesten ikke er til å tro.

Et huslig tips til den gjerrige: Gå til interiørbutikken og si at du vil ha et Sierpinski-teppe. Insister på å betale ut fra areal, ikke per meter. Uansett størrelse og omkrets vil prisen da nemlig bli tilnærmet lik null.

Ulempen er at teppet vil være fullt av store, små, mindre, enda mindre og enda mindre hull.

I år er det 100 år siden den polske matematikeren Waclaw Sierpinski publiserte det som på norsk ville hete noe sånt som «Om kurver som inneholder bildet av enhver gitt kurve».

Sierpinski ante nok ikke at dette skulle bli et teppe som bar hans navn. Året før, altså i 1915, kom Sierpinski-trekanten, og senere skulle det bli både Sierpinski-kuber, Sierpinski-kurver og Sierpinski-svamper.

Først ut var trekanten. Vi fjerner en trekant i midten. Så fjerner vi en trekant i midten av de tre gjenværende svarte trekantene. Så fjerner vi en trekant i midten av de ni gjenværende svarte trekantene. Og så videre. (Foto: (Illustrasjon: Wereon, Wikimedia Commons))
Først ut var trekanten. Vi fjerner en trekant i midten. Så fjerner vi en trekant i midten av de tre gjenværende svarte trekantene. Så fjerner vi en trekant i midten av de ni gjenværende svarte trekantene. Og så videre. (Foto: (Illustrasjon: Wereon, Wikimedia Commons))

Med saks og papir

Dette tilhører en del av matematikken som i dag kalles fraktaler, men ikke la det skremme deg. Vi kommer tilbake til det senere. Sierpinski-teppet er like fascinerende uansett hva du kaller det.

Du begynner med et kvadrat. Så tegner du to loddrette og to vannrette streker som deler kvadratet i ni like store kvadrater. Deretter klipper du ut det midterste.

Til venstre et balnkt ark. I midten har vi klipt ut det midterste kvadratet. Til høyre har vi klippet ut det midterste kvadratet i de åtte resterende kvadratene. (Foto: (Illustrasjoner: Johannes Rössel, Wikimedia Commons. Montasje: Eivind Torgersen))
Til venstre et balnkt ark. I midten har vi klipt ut det midterste kvadratet. Til høyre har vi klippet ut det midterste kvadratet i de åtte resterende kvadratene. (Foto: (Illustrasjoner: Johannes Rössel, Wikimedia Commons. Montasje: Eivind Torgersen))

Da sitter du igjen med åtte kvadrater. Gjør det samme med hvert av disse. Del dem i ni og klipp ut det midterste kvadratet. Før du går videre, kan du ta en titt på det som er det sentrale ved Sierpinski-teppet og lignende figurer.

De åtte små kvadratene er kopier av det store slik det så ut før du tok klipperunde nummer to.

...og slik kan vi fortsette i det uendelige. (Foto: (Illustrasjoner: Johannes Rössel, Wikimedia Commons. Montasje: Eivind Torgersen))
...og slik kan vi fortsette i det uendelige. (Foto: (Illustrasjoner: Johannes Rössel, Wikimedia Commons. Montasje: Eivind Torgersen))

Slik kan du holde på i det uendelige. Hvis du zoomer inn, dukker det hele tiden opp nye kvadrater du kan dele i ni mindre kvadrater før du klipper ut det midterste.

For hvert klipp vil arealet bli mindre. Det vil nærme seg null. Likevel vil det aldri bli helt nøyaktig null, altså ingenting, for det vil hele tiden være nye kvadrater å klippe i. Selv om de er langt mindre enn det du får til med kjøkkensaksa.

Slik blir teppet (nesten) gratis

Slik kan det også se ut. (Foto: (Illustrasjon: KarocksOrkav, Creative Commons CC BY-SA 3.0))
Slik kan det også se ut. (Foto: (Illustrasjon: KarocksOrkav, Creative Commons CC BY-SA 3.0))
  • På nivå 0 er arealet lik 1
  • På nivå 1 er arealet lik 8/9
  • På nivå 2 er arealet lik 82/92
  • På nivå 3 er arealet lik 83/93
  • På nivå 4 er arealet lik 84/94
  • Og på nivå 50 er arealet lik 850/950

På nivå 50 er vi nede på 0,0027. Hvis teppet skal dekke hele stuegulvet, la oss si et areal på 30 m2, utgjør tepperestene på nivå 50 omtrent 0,0831 m2. Med en kvadratmeterpris på 300 kroner, er vi da nede i 24,92 kroner. Fortsatt et stykke igjen til gratis, men mye mindre enn de 9000 kronene du måtte ut med i utgangspunktet.

Navneforvirring

Wacław Sierpiński (1882–1969). (Foto: Wikimedia Commons)
Wacław Sierpiński (1882–1969). (Foto: Wikimedia Commons)

Sierpinski var ikke ute etter å lage fine tepper. Han hadde heller ikke noe forhold til fraktaler, dette uttrykket er nemlig av nyere dato. Det virker jo også litt rart at tittelen på publikasjonen – «Om kurver som inneholder bildet av enhver gitt kurve» – ser ut til å handle om kurver.

Så hva var det egentlig Sierpinski holdt på med? For han var ikke den første som matematiserte over figurer som kopierer seg selv i det uendelige.

– Det Sierpinski var ute etter, var å finne en universell Cantor-kurve, en kurve som inneholdt alle andre Cantor-kurver, sier professor Tom Lindstrøm ved Universitetet i Oslo.

Cantor-kurve er ikke et ord som brukes mye i våre dager.

– Jeg ville ikke kalle det en kurve i det hele tatt. Men det handler delvis om en forskyving av terminologi, sier Lindstrøm til forskning.no.

I dag ville matematikerne kanskje heller kalle det en Cantor-mengde. Om det ikke sier deg noe, så se illustrasjonen under. Der kan du se at det samme prinsippet i bruk som det vi bruker når vi lager et Sierpinski-teppe. Mindre kopi etter mindre kopi etter mindre kopi.

Øverst har vi en heltrukket linje i full bredde. På nivået under har vi fjernet den midterste tredelen av den hele linjen. Deretter fjerner vi den midterste tredelen av de to gjenværende linjene. Så klipper bort den midterste tredelen av de fire nye linjene. Og så videre.

Vi deler i tre og visker bort den midterste delen, deler i tre og visker bort den midterste delen... (Foto: (Illustrasjon: Wikimedia Commons))
Vi deler i tre og visker bort den midterste delen, deler i tre og visker bort den midterste delen... (Foto: (Illustrasjon: Wikimedia Commons))

Fraktalene kommer

Cantor jobbet med sine snøfnugg på 1880-tallet. Før den tid var lignende mønstre brukt blant annet i utsmykningen av kirker i Roma. Men de sistnevnte handlet om estetikk, ikke matematikk. De manglet naturlig nok uendeligheten.

Etter Cantor kom snøfnugget til Helge von Koch i 1904 og altså Sierpinskis trekant og teppe under første verdenskrig. Matematikerne var for alvor i gang med å kopiere deler og kopiere deler i det uendelige.

Og da må vi en tur til Polen igjen. Der ble matematikeren Benoît Mandelbrot født i 1924. Han flyttet tidlig til Frankrike og senere til USA, og historien om fraktaler fortsetter med ham.

Benoît Mandelbrot (1924–2010). (Foto: Rama, Wikimedia Commons, CC BY-SA 2.0 FR)
Benoît Mandelbrot (1924–2010). (Foto: Rama, Wikimedia Commons, CC BY-SA 2.0 FR)

Den begynner egentlig med ham.

I 1975, seks år etter at Sierpinski døde, introduserte han begrepet i boka The Fractal Geometry of Nature.

– Ordet fraktal dukket først opp da Mandelbrot lagde en paraply over mange forskjellige teorier. De selvsimulerende fraktalene er en av mange typer fraktaler, forteller Lindstrøm.

Og Sierpinski-teppet er en av mange selvsimulerende fraktaler. Selvsimulerende betyr at de etterligner seg selv.

– Hvert at kvadratene på nivå to vil være en forminsket utgave av den opprinnelige, sier Lindstrøm.

I naturen

Vi er nå i ferd med å bevege oss bort fra utgangspunktet med Sierpinski og teppet hans. Og vi skal enda lenger, vi skal fra det teoretiske tegnebordet og ut i naturen. Vi skal nemlig kose oss med fine bilder og illustrasjoner.

Se på kålhodet på bildet under. Dette er en romanesco. Ifølge Store norske leksikon er det en krysning mellom blomkål og brokkoli.

Når du zoomer inn, ser du at hver knoll er satt sammen av små knoller som ser ut som små kopier av den store.

Sånn kan det gå når man krysser brokkoli med blomkål: Vi får en fraktalkål. (Foto: Colourbox)
Sånn kan det gå når man krysser brokkoli med blomkål: Vi får en fraktalkål. (Foto: Colourbox)

Bregner er en annen populær naturfraktal. Den britiske matematikeren Michael Barnsley var inspirert av bregnearten blankburkne (Asplenium adiantum-nigrum) da han tegnet seg inn i matematikkhistorien med Barnsleys bregne.

Til venstre en bregne, uvisst av hvilken art. Til høyre Michael Barnsleys fraktal. (Foto: Colourbox. Illustrasjon: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)
Til venstre en bregne, uvisst av hvilken art. Til høyre Michael Barnsleys fraktal. (Foto: Colourbox. Illustrasjon: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0)

Den svenske matematikeren Helge von Koch må ha vært inspirert av snøfnugg. I hvert fall har han fått Kochs snøfnugg oppkalt etter seg for det han fant på allerede i 1904.

Du starter med en likesidet trekant. Del hver side i tre og ta bort den midterste tredelen. Du kjenner sikkert igjen fremgangsmåten fra Sierpinski-teppet og Cantor-mengden.

De første trinnene i Kochs snøfnugg. (Foto: (Illustrasjon: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0))
De første trinnene i Kochs snøfnugg. (Foto: (Illustrasjon: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0))

Men før du visker bort, tegner du en ny trekant på den midterste tredelen. Da får du en fin sekskantet stjerne der alle linjene er like lange. Etter et par runder til med blyant og viskelær har du et snøfnugg. Og slik kan du holde på i det uendelige.

Men bregner og romanesco og snø som faller fra himmelen er ikke ekte fraktaler. De stopper nemlig med etterligningene etter en stund.

Slik er det ikke med neste eksempel.

Den uendelige Mandelbrot-mengden

Så var det rosinen i pølsa. Toppen av kransekaka. Fraktalen over alle fraktaler: Mandelbrot-mengden.

– Mandelbrot åpnet øynene våre for at det kaotiske og irregulære er det normale i verden, ikke de glatte kurvene og flatene, har professor Bernt Øksendal tidligere sagt til Dagbladet.

I Sierpinskis teppe, Cantors mengde og Kochs snøfnugg er det relativt enkelt å se hvordan de kopierer seg selv. Mandelbrot-mengder er derimot ufattelig komplisert, og du trenger datamaskiner for å konstruere dem.

Med datahjelp fortsetter de i det uendelige.

Matematikk.org bruker denne tilsynelatende enkle formelen for å beskrive Mandelbrot-mengden:

fc(z) = z2 + c

hvor c og z er såkalte komplekse tall. Komplekse tall er tall som kan skrives slik: a + ib, der a og b er reelle tall som kan plasseres på en tallinje, mens i er den imaginære enheten, den litt forvirrende kvadratroten av –1.

Her er det lov å nøye seg med å nyte bildegalleriet. Det blir ikke mindre fascinerende av at matematikken i det forsvinner et sted langt over hodene til mange av oss.

Bruksmatematikk

Det kan se ut som om vi har beveget oss over i kunstens verden, men det har vi altså ikke. Fraktaler er i tilfelle matematisk brukskunst. Anvendt matematikk som det heter.

Geir Øien ved NTNU er en av dem som har prøvd å bruke dem i den virkelige verden. På begynnelsen av 1990-tallet var han med i et internasjonalt forskerfellesskap som jobbet med å komprimere bilder ved hjelp av fraktalinspirerte teknikker.

– Det var et alternativ til JPEG-standarden. Det fungerte, men nådde ikke fram.

Tanken bak var at det i et bilde alltid vil være små utsnitt som ligner på hverandre eller som ligner på et større utsnitt. Og det er jo helt i Sierpinski-teppets ånd.

– Hvis du deler inn et bilde i store ruter og så i mindre ruter, så kan du se at noen av de store ligner på de små. Dette kan beskrives ved hjelp av en matematisk ligning, sier Øien til forskning.no.

En fotballbane er et godt eksempel.

– For hver lille blokk går du gjennom de store og finner den som ligner mest. Det gir en matematisk sammenheng i hele bildet.

Et utsnitt ligner på et annet hvis du for eksempel justerer vinkel og kontrast. Slike ting som kan skrives ved hjelp av en ligning.

Bildekomprimering var og er big business, og store aktører var involvert. Michael Barnsley, han med bregnen, skal ha vært i kontakt med noen av dem. Men uten resultater. Andre teknologier vant kappløpet.

– Vår metode var nok mer kompleks, men den var veldig enkel når du skulle gjenskape bildet hos mottakeren, sier Øien, som i dag er dekan ved Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk ved NTNU.

Sierpinski-trekanter i et tidligere liv. Mosaikk, sannsynligvis fra 1200-tallet, i Santa Maria-kirken i Trastevere i Roma. (Foto: fdecomite, Creative Commons CC BY 2.0)
Sierpinski-trekanter i et tidligere liv. Mosaikk, sannsynligvis fra 1200-tallet, i Santa Maria-kirken i Trastevere i Roma. (Foto: fdecomite, Creative Commons CC BY 2.0)

Fraktaler i naturen II

Benoît Mandelbrot så nesten ikke grenser for hva fraktalene hans kunne brukes til. Han fant for eksempel fraktale strukturer i prisen på bomull.

De hakkede toppene på fjellkjeder mente han også kunne behandles som fraktaler og dermed bli et emne for matematikken. Noen kaller fraktaler for «naturens egen geometri».

Halvere og sette på tvers, halvere og sette på tvers, halvere og sette på tvers... (Foto: (Illustrasjon: Eivind Torgersen))
Halvere og sette på tvers, halvere og sette på tvers, halvere og sette på tvers... (Foto: (Illustrasjon: Eivind Torgersen))

Bronkiene dine ser ut som fraktaler. Og ifølge Store norske leksikon er et hjerte som slår jevnt som en metronom, mindre robust enn et hjerte med fraktalt slagmønster.

Antenner

Til slutt noen ord om fraktalantenner. Det er mulig det er en hype. I hvert fall har de ikke slått igjennom slik oppfinneren Nathan Cohen håpet på for noen år siden.

Tanken er at en slik antenne tar utrolig lite plass samtidig som den vil være i stand til å ta inn signaler på ulike bølgelengder.

Dette var veldig hot for et drøyt tiår siden da utviklingen av mobiltelefoner dreide seg mest om å gjøre dem mindre og mindre, samtidig som de skulle ta inn både telefon-, bluetooth- og wifi-signaler.

En slik antenne vil kunne bli veldig lang og kompleks uten at den blir noe særlig større. Den lager bare nye små kopier inni seg selv hele tiden.

Se bare på Sierpinski-trekanten under. Når vi snur den opp ned, ligner den til og med på en antenne.

En Sierpinski-trekant vrengt opp ned. (Foto: (Illustrasjon: Sarang, Wikimedia Commons))
En Sierpinski-trekant vrengt opp ned. (Foto: (Illustrasjon: Sarang, Wikimedia Commons))