Man kan bruke dynamiske systemer for å beregne hvor en asteroide vil befinne seg ti år i framtiden. (Illustrasjon: Rashevskyi Viacheslav / Shutterstock / NTB scanpix)(Illustrasjon: Rashevskyi Viacheslav / Shutterstock / NTB scanpix)
Skaper en større verden med komplekse tall
Matematikken deres brukes allerede på andre felt, fra å beregne en asteroides posisjon til måling av et isfjells størrelse. Men Berit Stensønes tror vi bare ser starten på utviklingen og bruken av disse mektige verktøyene.
Sammen med Erlend Fornæss Wold har hun invitert verdensledende matematikere til CAS Oslo for å utforske matematikk på et så avansert nivå at det gjerne skal minst én mastergrad til for å virkelig forstå det de driver med.
Flere komplekse variable og flervariabel kompleks dynamikk er deres matematiske områder.
– Nysgjerrighet driver oss, men det har også noe med den virkelige verden å gjøre, sier en pedagogisk Stensønes som bruker dansebevegelser til å forklare hvordan hun arbeider.
– Matte er et slags tankespill
Komplekse tall er grunnleggende i arbeidet til Stensønes og Fornæss Wold, som sammen leder matteprosjektet ved CAS Oslo i år.
På skolen lærer man at dersom man ganger to negative tall blir det positivt. Ifølge denne regelen ville følgende likning ikke ha noen løsning:
X^2=-1
fordi x ganger seg selv kan aldri bli minus en.
– Komplekse tall oppstår naturlig når vi for eksempel skal forklare enkle fysiske fenomener, som en pendels bevegelse. Dersom vi introduserer et nummer i, slik som
I^2 =-1
blir hele regnestykket enklere, sier Stensønes.
– Vi ekspanderer tallsystemet med komplekse tall, og inkluderer de som kalles imaginære, sier Fornæss Wold, og tilføyer at begrepet imaginære tall kan være misvisende siden matematikk er abstrakt og dermed kan alle tall kategoriseres som imaginære. De to professorene er likevel enige i at tall ikke er «sendt fra gud», men at de er en måte for oss mennesker å systematisere det som i utgangspunktet kan fremstå som kaos.
I feltet «flere komplekse variable» studerer man spørsmål i analyse og geometri i det Stensønes forklarer er «komplekse rom av to eller flere dimensjoner». Når vi legger til en i (som i forklaringen av komplekse tall over) til tallrekken med reelle tall, ender vi opp med en flate. Slik blir den matematiske verden større.
Hver komplekse dimensjon oppfører seg som to reelle dimensjoner– i reelle og imaginære retninger.
– Vi kan for eksempel bruke to komplekse dimensjoner til å beskrive visse bevegelser i tid og rom. Dette betyr at bevegelsen kan bli avbildet i fire eller flere dimensjoner, fortsetter hun.
Mattefeltet dateres til 1800-tallet, og bygger på mange matematiske felt. Dette prosjektet er imidlertid sterkt inspirert av en artikkel fra 1980-tallet. Sammen med Jean-Pierre Rosay skrev den østerisk-amerikanske matematikeren Walter Rudin Holomorphic maps from Cn to Cn i 1988. Som jøde rømte han fra Østerrike i 1938 og tilbrakte krigsårene i England.
Artikkelen demonstrerer hvordan enkle verktøy kan brukes til å komme opp med interessante eksempler, sier Stensønes. Hun var tilstede på forelesningen om temaet på Princeton da arbeidet først ble presentert.
– Da artikkelen først kom ut ble den nærmest sett på som en kuriositet, men nå er den på en måte blitt vår plattform.
Noen av spørsmålene i artikkelen ledet til Andersén-Lempert-teorien, som viser hvordan kompliserte «avbildninger» kan fremstilles ved bruk av enkle verktøy.
En avbildning kan forstås som en regel som beskriver for eksempel hvordan et fysisk system forandrer seg fra et tidspunkt til et annet.
– Samtidig utviklet folk som John Erik Fornæss, Nessim Sibony, Eric Bedford og John Smilie en omfattende teori for flervariabel kompleks dynamikk, sier Stenønes.
Her betyr dynamiske systemer fysiske systemers oppførsel over tid.
Andre del av artikkelen til Walter Rudin utforsker teorier utviklet av to matematikere– franske Pierre Fatou og tyske Ludwig Bieberbach.
– Det er en interessant historie at Rudin promoterte ideene til Bieberbach, som var en selverklært nazist. Nå sitter vi plutselig her med dørene vidåpne inn i en verden av nye verktøy og spørsmål, sier Stensønes
Mellom det fleksible og det superrigide
Ved hjelp av ‘den store verktøykassa’ kan Stensønes og Fornæss Wold enkelt løse mange problemer. Men da vil svarene se slik ut som i denne illustrasjonen; den vil ha en røff struktur. (Illustrasjon: Karoline Kvellestad Isaksen)(Illustrasjon: Karoline Kvellestad Isaksen)
Det de norske forskerne nå holder på med er analytiske avbildninger eller objekter:
– I en større, matematisk kontekst befinner disse objektene seg et sted mellom det veldig fleksible (kontinuerlige objekter) og det superrigide (algebraiske objekter).
Annonse
Mange problemer er lette å løse hvis man har tillatelse til å bruke «den store verktøykassa» som matematikere i den kontinuerlige sfæren bruker, forklarer Fornæss Wold (se illustrasjon).
– Problemene er imidlertid svært vanskelige å løse dersom man bare har lov til å bruke den betydelig mindre analytiske verktøykassa.
Den japanske matematikeren og filosofen Kiyoshi Oka (1901-1978) endret dette, fortsetter han.
– Oka demonstrerte at for visse typer analytiske problemer er vi heldige nok til å kunne låne den store verktøykassa. Vi kan ta i bruk Okas teori for å korrigere den første løsningen for å få det vi leter etter.
Dette markerte starten på Oka-teorien. Tyske Hans Grauert (1939-2011) utviklet den videre.
– Han klassifiserte større og større grupper problemer som tillater oss å bruke den store verktøykassa. Dette kalles Oka-Grauert-prinsippet.
Stensønes og Fornæss Wold ønsker å løse problemer slik at svaret blir elegant, slik som i denne grafen. Kiyoshi Oka demonstrerte at det noen ganger er mulig å bruke ‘den store verktøykassa’ for å nærme seg en elegant løsning. (Illustrasjon: Karoline Kvellestad Isaksen)(Illustrasjon: Karoline Kvellestad Isaksen)
Feltet ble utviklet videre av Abelprisvinner Mikhail Gromov.
– Tråden ble tatt opp, mest nevneverdig av CAS-forsker Franc Forstnerič, og nå er temaet blitt et eget område innen flere komplekse variable. I en bredere kontekst har CAS-forsker Finnur Larússon plassert teorien i en såkalt «abstrakt homotopiteori», som tilhører områdene de kontinuerlig-arbeidende matematikerne jobber med.
– Dette er nyttig fordi det demonstrerer at et sted der ute er det en analytisk måte å gjøre om breakdance til ballett, sier Stensønes, som beskriver breakdance sin tøffere og ballettens mykere bevegelser.
Fra værmeldinger til beregning av asteroiders posisjon
Dynamiske systemer, som også er et av prosjektets undertemaer, brukes til å beregne endringer, og blir ofte brukt utenfor den matematiske sfæren. For eksempel, i romfysikk kan dynamiske systemer brukes til å beregne hvor en asteroide vil befinne seg om ti år.
– Dynamiske systemer brukes også i værmeldinger, tilføyer Stensønes. Hun er fasinert av at en av de andre forskergruppene ved CAS i år tar i bruk dynamiske systemer i arbeidet med luftforurensing i Kina.
Annonse
– Man bruker kunnskapen om hvor man er og hvilke krefter som vil komme i spill til å si noe om hvor vi vil ende opp.
Stensønes og Fornæss Wold mener det er grunn til å tro at de bare har sett starten av utviklingen og bruken av disse kraftige verktøyene.
– Alle disse teoriene er sammenfletta, og teknikker fra én er et redskap for å forstå en annen, sier Stensønes.
