Allerede før Abel ble student i 1821 var han begynt på det som skulle regnes som hans første matematiske bragd, nemlig arbeidet med den generelle femtegradsligningen:

x⁵ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

Å løse en slik ligning var en oppgave europeiske matematikere hadde strevd med i over 250 år. Abel viste at ligningen rett og slett ikke lar seg løse ved hjelp av de klassiske regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og rotutdragning.

Gjennombrudd

Gjennom en rekke skarpsindige slutninger viste Abel at en eventuell løsning uttrykt med disse fem regningsartene, ville inneholde egenskaper som var uforenlige med de egenskaper løsningen av en generell femtegradsligning nødvendigvis må ha.

Abels fremgangsmåte og bevis var et gjennombrudd i ligningsteorien - han forstod hva som gjorde at noen algebraiske ligninger kunne løses og andre ikke, en kime til klassekroppteori og et grunnlag for den generelle gruppeteorien som kort tid senere ble funnet av en annen ung matematiker, Galois.

Abel bekostet selv trykkingen av sitt arbeid om femtegradsligningen i 1824. Året før hadde han debutert som matematisk forfatter med noen avhandlinger i landets første naturvitenskapelige tidsskrift, Magazin for Naturvidenskaberne.

Integralligning

Disse arbeidene inneholder blant annet løsninger på et mekanisk problem ved hjelp av en såkalt integralligning. Etter alt å dømme var dette første gang i matematikkhistorien at en integralligning ble løst, og det skulle senere vise seg at den samme ligningen Abel studerte, ble det matematiske fundamentet moderne røntgentomografi baserer seg på.

Begrepet Abelske integralligninger er i dag et av sporene etter ham. Også brudden derivasjon er noe Abel her for første gang introduserte.

I teorien for uendelige rekker var Abel opptatt av å legge et stringent grunnlag. Han utviklet fullstendige konvergenskriterier for mange kompliserte rekker, og prøvde å finne generelle kriterier for å skille konvergente og divergente rekker - Abelsk partiell summasjon er et begrep utledet fra hans arbeider.

Åtte avhandlinger

Abel skrev åtte avhandlinger om elliptiske funksjoner, og var sammen med matematikeren Jacobi den som oppdaget disse funksjonenes viktigste egenskaper.

I tilknytning til disse arbeidene fant han også en sats om lemniskatens deling. Denne kurven, lemniskaten, er ellers den eneste geometriske figuren som forekommer i hans matematiske arbeider.

Blant Abels mange oppdagelser regnes hans generelle addisjonssetning for algebraiske funksjoner av to variable som hans dypeste og mest vidtrekkende.

Uante sammenhenger

Det er dette addisjonsteoremet den store Parisavhandlingen omhandler, og som er blitt stående som et høydepunkt i matematikkens utvikling, og et reservoar det fremdeles strømmer nye ideer fra.

Abels kolossale generalitet i problemstillingene gjorde at arbeidene hans åpenbarte uante sammenhenger mellom tidligere atskilte områder - han bygget broer mellom algebra, analyse og geometri. Og med den stringens Abel i alt sitt arbeid la for dagen, var han - sammen med Gauss og Cauchy - skaper av en moderne matematisk bevisførsel.

Abels arbeider ble samlet av B. M. Michael Holmboe og utgitt første gang i Christiania i 1839 (men uten at Parisavhandlingen var med). En større og fullstendig utgave av Abels verker kom i 1881. Denne utgaven i to bind er redigert og kommentert av Sophus Lie og Ludvig Sylow. Første bind, i alt 621 sider i kvartformat, inneholder alt Abel rakk å få ferdig og publisert. Andre bind, 341 sider, inneholder Abels etterlatte arbeider.