Unødig vanskelig matematikk

Det finnes mange hverdagslige teknikker som gjør det lettere å løse matteoppgaver. Men lærebøker i ungdomsskolen presenterer ikke disse metodene for elevene.

Publisert
 (illustrasjonsfoto: colourbox.no)
(illustrasjonsfoto: colourbox.no)

Teksten og tallene tårner seg opp på prøvearket. Svetten siler. Hvordan var nå den formelen for overflata av et rett firkantet prisme?

Er du en smule disponert for matteangst kan møtet med et matematisk problem lett framkalle både jernteppe og mild panikk.

Men veldig ofte er det flere enn én måte å løse et problem på. Det kan angripes fra ulike vinkler og ikke sjelden takles med ren sunn fornuft, forteller Tom Rune Kongelf fra Høgskulen i Sogn og Fjordane.

Han har listet opp en god håndfull grunnleggende metoder som kan brukes til å løse både matteoppgaver og dagligdagse utfordringer. Dessverre fokuserer de norske lærebøkene i matematikk lite på disse enkle mentale redskapene, foreller forskeren.

- Dette gjør det vanskeligere å forstå matematikk.

Kongelf mener dette er et problem, ikke minst fordi norske lærere ligger i verdenstoppen når det gjelder å stole på læreboka.

- Boka styrer i stor grad undervisningen. Samtidig er det ingen godkjenningsordninger som kontrollerer innholdet og kvaliteten i lærebøkene.

Ni metoder

Metodene det er snakk om, er velkjente, men enkle tanketeknikker som matematikere gjerne bruker når de møter et problem de ikke umiddelbart vet løsningen på.

I doktorgraden sin har Kongelf definert ni slike generelle metoder som går igjen i litteraturen og som vi bør forvente å finne i norske mattebøker:

  • Se etter et mønster
  • Lag en systematisk tabell
  • Lag en visualisering
  • Gjett og sjekk
  • Løs en del av problemet
  • Arbeid baklengs
  • Tenk på et tilsvarende problem
  • Forenkle problemet
  • Endre angrepsmåte

Disse teknikkene kan hjelpe elevene i gang med en hel rekke ulike oppgaver.

Hvordan finne overflata av en eske?

De færreste går for eksempel rundt og husker at (O= 2 x l x b + 2 x l x h + 2 x b x h) er formelen for overflata av et rett firkantet prisme – eller eske, som vi vanligvis kjenner det som.

Men oppgaven kan også løses på en annen måte.

Husker du formelen for overflata av en eske? Problemet kan bli mer oversiktilig dersom du bretter ut esken og regner sammen overflata på alle rektanglene. (Foto: (Illustrasjon: Per Byhring))
Husker du formelen for overflata av en eske? Problemet kan bli mer oversiktilig dersom du bretter ut esken og regner sammen overflata på alle rektanglene. (Foto: (Illustrasjon: Per Byhring))

Hvis vi forestiller oss at vi bretter ut eska, er det lettere å se at den egentlig er satt sammen av tre par flate rektangler. Da kan vi dele opp oppgaven, ved å regne ut overflata på alle rektanglene (lengde x bredde) og legge sammen svarene.

Nå har vi brukt tre av de mentale teknikkene fra lista: Først endret vi angrepsmåte, ved å se eska på et annet vis. Så lagde vi en visualisering av den nye måten å framstille oppgaven på og til slutt delte vi opp problemet i tre overkommelige regnestykker. 

Men i hvor stor grad lærer norske elever slike teknikker? Kongelf har gått igjennom 740 eksempler i seks ulike lærebøker for niende trinn for å finne ut mer.

Usynlige metoder

Gjennomgangen viser at det finnes spor av metodene i mange av eksemplene. Men bare fire av de ni teknikkene er brukt. Og det er ikke det mest urovekkende.

- Dersom disse fire metodene hadde fått en tydelig plass ville det kanskje holdt. Men de blir ikke forklart eller presentert som egne teknikker.

Eksemplene slår kanskje fast at Nina løste oppgaven slik, mens Per gjorde det sånn. Men det er ingenting som tilsier at de to metodene representerer generelle tanketeknikker, forteller Kongelf.

- Dermed er det vanskelig å skjønne at det også går an å bruke de samme teknikkene for å løse andre oppgaver. Metodene forblir usynlige for både lærere og elever.

Han mener det er viktig å gi de mentale teknikkene navn og tydelig plass, slik som teknikkene i fotball:

- Et fotballag kan for eksempel trene på innsidepasninger. Treneren beskriver hvordan man skal treffe ballen med innsida av skoen og selve navnet sier noe om hvordan man bruker foten. Man sier ikke bare ”Dette er pasningen som Nina tok”.

Problemløsning

Kongelf tror at de generelle metodene for problemløsning med fordel kunne presenteres lenger ned i skoletrinnene, kanskje helt ned i andre og tredje klasse.

- Slike teknikker – som å lage en systematisk tabell eller en tegning – har allmenngyldig verdi. De kan virke like godt for tall, algebra eller geometri. Dessuten har de stor overføringsverdi.

Tom Rune Kongelf. (Foto: Høgskulen i Sogn og Fjordane)
Tom Rune Kongelf. (Foto: Høgskulen i Sogn og Fjordane)

Metodene kan brukes for å angripe en rekke oppgaver i hverdagslivet til både barn og voksne.

- Singapore, som er det ledende landet på matematikk ifølge TIMSS-undersøkelsene, har problemløsning som selve kjernen i læreplanen sin.

I Norge er det derimot et ganske begrenset fokus på slike generelle metoder. Det blir undervist lite om problemløsning i lærerutdanninga og læreplanen er vag, sier Kongelf.

- Problemløsning hadde en tydelig plass i læreplanen fra 87. Men i L97 og Kunnskapsløftet er emnet mer integrert og vanskeligere å få øye på.

- Da er det kanskje ikke så rart at lærebøkene i matematikk heller ikke presenterer slike metoder.

Resultatet blir at mange elever antageligvis ikke blir kjent med de nyttige tanketeknikkene.

Ingen kontroll

- De fleste mattelærere legger opp undervisninga etter læreboka. Dette er nok vanlig i mange land, men det gjøres spesielt mye i Norge. Læreboka har dermed enorm makt. Men likevel eksisterer det ingen standarder for læreverk.

- Det er i hvert fall sju forskjellige titler på markedet for ungdomstrinnet. Bøkene er svært ulike når det gjelder overfladiske faktorer som sidetall og pris, men også på mer dyptgripende momenter som hvilke og hvor mange tanketeknikker som presenteres.

For øyeblikket har vi heller ingen instanser som kontrollerer innholdet i bøkene. Det nasjonale utvalget som før kvalitetskontrollerte norske lærebøker – Nasjonalt læremiddelsenter – ble lagt ned i 2001.

- Tanken var at maktforholdet skulle forskyves fra lærebøkene og over på læreplanen, og at lærere og foreldre selv skulle kunne plukke ut de beste bøkene.

- Men en slik oppgave krever enormt mye tid og kompetanse. I tillegg spiller prisen ofte en rolle når skolen skal kjøpe inn nye lærebøker.

Kongelf håper politikerne etter hvert vil gjeninnføre et kontrollorgan.

Han mener også at læreplanene bør fokusere mer på problemløsning og at neste generasjon lærebøker bør inneholde langt tydeligere beskrivelser av de generelle metodene for problemløsning.

- Dette vil antageligvis hjelpe mot matteangst. Hvis du for eksempel lærer deg fem av metodene så har du alltid redskaper du kan ty til. Dessuten er det kanskje nettopp disse verktøyene som kommer til å fungere best etter at du har sluttet i skolen.

- De aller fleste av oss glemmer formlene. Det vi derimot ofte vil få bruk for, er generelle metoder for å angripe små og store oppgaver i hverdagen.

Referanse: 

Kongelf, T. R. (2011). What characterises the heuristic approaches in mathematics textbooks used in lower secondary schools in Norway? Nordic Studies in Mathematics Education, vol 16 (4), s 5–44.