Jordas masse er ikke jevnt fordelt – det er en forenkling man bruker i undervisningssammenheng, forklarer professor Ulrik Uggerhøj.  (illustrasjon: Kristian Secher, Videnskab.dk)
Jordas masse er ikke jevnt fordelt – det er en forenkling man bruker i undervisningssammenheng, forklarer professor Ulrik Uggerhøj. (illustrasjon: Kristian Secher, Videnskab.dk)

Så lang tid ville det ta å falle tvers gjennom jorda

Tidligere har man regnet seg fram til at den fallende reisen ville ha tatt 42 minutter. Nå har det klassiske fysikkspørsmålet fått et nytt svar. 

Publisert

Fakta

Tidsskriftet «American Journal of Physics» utgis av den amerikanske foreningen for fysikklærere. 

Hav på den andre siden

Hvis du gjorde alvor av å grave et hull hele veien gjennom jorda fra et hvilket som helst punkt i Norge, ville du havne ute i Stillehavet, sørøst for New Zealand og nord for Antarktis. Skulle du treffe på noe annet enn hav, måtte du begynne nord for Longyearbyen: Et hull fra Ny-Ålesund ville komme opp igjen i Rossbarrieren i Antarktis.

«Falle gjennom jorda»-spørsmålet har blitt hentet frem i mangt et fysikklokale gjennom årene. Det kombinerer flere klassiske lover fra fysikkens verden. Gjennom alle år har studentene fått høre at svaret er 42 minutter. 

Uenige om fire minutter

Nå har en fysikkstudent fra McGill University i Montreal, Canada, skrelt fire minutter av reisetiden ved å ta jordas massefordeling med i beregningen. Det skriver Sciencemag.org

– Dette er slike beregninger vi elsker, sier fysiker David Jackson fra Dickinson College i Carlisle, Pennsylvania, til nettstedet. Jackson er redaktør for American Journal of Physics, hvor den nye analysen er publisert.

Professor Ulrik Uggerhøj ved institutt for fysikk og astronomi ved Aarhus Universitet er mer usikker. 

– Når man refererer til standarden på 42 minutter, er det fordi det er en utregning man kan gjøre på baksiden av en konvolutt. Det er en pedagogisk modell fordi den tar opp sentrale fysiske begreper som harmonisk bevegelse. 

Ikke jevnt fordelt 

For å regne seg fram til hvor land tid det tar å falle i en tenkt tunnel tvers gjennom jorda, bruker man Isaac Newtons tyngdelov. 

Fysikkstudenter som får denne oppgaven, må regne ut hvordan et objekts tyngdekraft endrer seg mens det faller gjennom tunnelen. 

Men i regnestykket sitt er de nødt til å gå ut i fra – selv om det i virkeligheten ikke er slik – at jorda har samme massefordeling overalt: omkring 5500 kilo per kubikkmeter. Variasjonen i tyngdekraften er da bare avhengig av hvor langt du er fra sentrum.

Mens du faller, vil mengden av masse under deg bli mindre, mens massen over ikke lenger påvirker deg. Det fremgår av det som kalles Newtons skall-teoremet. 

Lag på lag

Fordi kraften som trekker deg mot sentrum, er proporsjonal med avstanden fra sentrum, vil du ende opp med å bevege deg opp og ned som en pendel. 

Men jorda har selvfølgelig ikke en jevn massefordeling – den blir tettere inn mot midten. 

Fysikkstudenten ved det kanadiske universitetet, som heter Alexander Klotz, ville finne fram til en mer realistisk utregning av falltiden. 

Han tok utgangspunkt i jordmodellen PREM (Prelimenary Reference Earth Model), der jorda er beskrevet som en rekke lag med forskjellige egenskaper. Modellen baserer seg på seismisk informasjon. 

Jordas massefordeling går fra omkring 1000 kilo per kubikkmeter ved overflaten til omkring 13 000 kilo ved sentrum. Svaret Klotz kom fram til, var 38 minutter og 11 sekunder for en tur gjennom jorda, i stedet for det tradisjonelle 42 minutter og 12 sekunder. 

– Ikke noen overraskelse 

Klotz fant også ut at han fikk nesten samme svar hvis han antok at tyngdeakselerasjonen var den samme hele veien gjennom jorda. Det ville teoretisk sett innebære at tettheten inne i sentrum var uendelig. 

Denne forenklingen Klotz gjorde i regnestykket, fungerer fordi feilen gjelder i så kort tid at den blir likegyldig, forteller Ulrik Uggerhøj. 

– Den modellen kommer nærmere den realistiske massefordelingen enn modellen med jevn massefordeling, sier han. 

Pedagogiske fordeler

Uggerhøj legger imidlertid til at fysikerne ikke har gått rundt og trodd at jordas masse er jevnt fordelt – den tradisjonelle modellen brukes fordi den har pedagogiske fordeler, forteller han. 

Ifølge David Jackson er analysen morsom fordi den viser hvorfor og hvordan du kan skifte ut én antakelse og få et langt mer korrekt svar. 

– Vi må fremdeles ha det klassiske problemet. Men dette er en fin tilføyelse, sier Jackson til Sciencemag. 

Referanse:

Alexander R. Klotz: The gravity tunnel in a non-uniform Earth, American Journal of Physics (2015), DOI: 10.1119/1.4898780 Sammendrag

© Videnskab.dk. Oversatt av Lars Nygaard for forskning.no.