Lyden av dyp sammenheng

Abelprisvinner Andrew Wiles brukte en vakker kobling mellom en ligning og en form for å finne løsningen på en gammel matematisk gåte. Her er lyden av ligningen og formen.

Publisert

– Nesten som musikk, sier matematiker Arne Sletsjøe.

Han har nettopp tegnet de første tonene i den naturlige overtonerekka, den som gir klangkarakter til instrumenter med naturtoner, som for eksempel en lokkelur.

Men disse overtonene skal ikke lokke kuer ned til setra. De er et bilde på en ligning.

Ligning for planetbaner

– Ligningen kalles en elliptisk kurve. Antall løsninger av ligningen brukes til å sette opp en overtonerekke, forklarer Sletsjøe.

Elliptiske ligninger stammer fra forsøkene på å beregne lengden til planetenes baner gjennom rommet. De første tonene fra ligningen ligner da også på åpningsmusikken i filmene Nærkontakt av tredje grad og 2001 – en romodyssé.

Dypt vennskap

Andrew Wiles (Foto: Copyright C. J. Mozzochi, Princeton N.J)
Andrew Wiles (Foto: Copyright C. J. Mozzochi, Princeton N.J)

Men abelprisvinner Andrew Wiles var ikke interessert i planetbaner. Han tok i bruk et slags matematisk vennskap – et dypt vennskap – mellom de elliptiske ligningene og et helt annet matematisk begrep.

Dette begrepet er det som matematikerne kaller en modulær form.

– De enkelte overtonene illustrerer antall løsninger til den elliptiske ligningen, men de beskriver også den modulære formen, sier Sletsjøe.

– De modulære formene kan nemlig splittes opp i sine enkelte bestanddeler, veldig likt måten en lyd kan splittes opp i sin grunntone og sine overtoner, fortsetter han,

Sju års arbeid og ett års fortvilelse

Denne dype sammenhengen mellom løsninger av elliptiske ligninger og modulære former kunne Wiles bruke for å finne svaret på en 380 år gammel matematisk gåte.

Løsningen kostet ham sju års arbeid i dypeste hemmelighet. Så fulgte fortvilelse og enda et års arbeid for å rette opp en feil. Men i mål kom han – i 1995.

Advokat og hobbymatematiker

Gåten ble formulert 380 år tidligere av en fransk advokat som hadde matematikk som hobby. Det var en seriøs hobby. Pierre de Fermat lå langt framme i matematisk kappestrid med storheter som Pascal og Descartes, og holdt løsningskortene tett til brystet.

Ofte var det ikke matematikere, men personlige venner som fikk brev med alt det rare han fant – sannsynlighetsteori for gamblere, analytisk geometri for geografer og optikere – og tallteori for … vel, tallteoretikere.

Det var interessen for tallteori som fikk ham til å legge til et avsnitt en gammel gresk matematikkbok i 1637, en påstand som seinere skulle få navnet Fermats siste teorem:

På side 61 av en bok med de matematiske arbeidene til den greske matematikeren Diophantus (rundt 250 f.Kr) har Pierre Fermat lagt til et avsnitt med påstanden som kalles Fermats siste teorem. I avsnittet skriver Fermat også at han har beviset, men ikke plass til å skrive det ned. Boka ble publisert i 1670. (Foto: (Bilde: Wikimedia Commons/public domain))
På side 61 av en bok med de matematiske arbeidene til den greske matematikeren Diophantus (rundt 250 f.Kr) har Pierre Fermat lagt til et avsnitt med påstanden som kalles Fermats siste teorem. I avsnittet skriver Fermat også at han har beviset, men ikke plass til å skrive det ned. Boka ble publisert i 1670. (Foto: (Bilde: Wikimedia Commons/public domain))

Det er umulig å adskille en tredjepotens i to tredjepotenser eller en fjerdepotens i to fjerdepotenser, eller generelt, en hvilken som helst potens høyre enn annen.

Pytt-pytt-pytagoreeren

Å, ja vel, nei? Ingen panikk. Snarere pytt-pytt.  Det går an å koble denne merkelige påstanden sammen med noe som de fleste kjenner fra skolen – pytagoreeren.

Du husker den rettvinklede trekanten? Ikke? Hypotenusen – langsida – ganget med seg selv er lik den ene kateten – kortsida – ganget med seg selv pluss den andre kateten ganget med seg selv.

Eller, sagt på matematisk:

 (Foto: (Figur: Arnfinn Christensen, forskning.no))
(Foto: (Figur: Arnfinn Christensen, forskning.no))

Trekanter i fleng

 (Foto: (Figur: Arnfinn Christensen, forskning.no))
(Foto: (Figur: Arnfinn Christensen, forskning.no))

Det finnes uendelig mange rettvinklede trekanter i forskjellige fasonger. Alle har forskjellige lengder på katetene – kortsidene – og hypotenusen – langsida.

Alle stemmer overens med den pytagoreiske læresetningen – som de fleste har pugget.

Hvis du bare tar med hele tall, er det fortsatt uendelig mange kateter og hypotenuser – altså løsninger på likningen.

For trange marger

Så kom Fermat og kludret det hele til. Han sa at – jo da, så lenge du bare ganger sidene med seg selv en gang – opphøyer i annen som i pytagoreeren – så er det uendelig mange løsninger.

Men – påstod Fermat – hvis du erstatter totallet i formelen med tretall, firetall og enda større tall oppover mot uendelig, så finnes det ikke lenger noen løsninger. Punktum.

 (Foto: (Figur: Arnfinn Christensen, forskning.no))
(Foto: (Figur: Arnfinn Christensen, forskning.no))

Hvordan kunne han være så sikker på det?  Fermat la igjen et mystisk lite spor selv. Avsnittet i kopien av den gamle greske boka fortsatte slik:

Jeg har oppdaget et virkelig mirakuløst bevis for dette, som margen her er for trang til å inneholde.

Agnet til Fermat

Bløffet han? Vår tids matematikere tror det. Han hadde ikke de matematiske verktøyene for å klare jobben.

Det skulle det 380 års ferd ut på matematiske dyp og en fersk abelprisvinner til for å få faglig fast fisk på agnet som Fermat hadde lagt ut.

Agnet til Fermat var et bevis for tallet fire. Det finnes altså ikke noen hele positive tall a, b og c som får denne ligningen til å gå opp:

 (Foto: (Figur: Arnfinn Christensen, forskning.no))
(Foto: (Figur: Arnfinn Christensen, forskning.no))

Flere og flere primtall

Når beviset er unnagjort for tallet fire, var det ganske enkelt for matematikere å finne ut at beviset bare måtte gjennomføres for primtallene – tall som bare er delelige med tallet en og seg selv.

Puh – for en lettelse! Primtallene er det mye færre av. Vel – egentlig ikke. Det er også uendelig mange primtall. Tilbake til regnebrettet.

Leonhard Euler klarte selv å bevise teoremet for primtallet tre. Siden fulgte fem og sju. Den franske matematikeren Sophie Germain klarte å legge enda en gruppe primtall til samlingen på begynnelsen av 1800-tallet. Tyskeren Ernst Kummer fulgte opp med enda flere noen tiår seinere.

Men fortsatt stod uendelig mange primtall igjen, og to hundre år var gått siden Fermat hadde påstått at ingen løsninger finnes for tall over to.

Den svarte svane

Pierre de Fermat. Maleri fra 1600-tallet. (Foto: (Bilde: Wikimedia Commons/public domain))
Pierre de Fermat. Maleri fra 1600-tallet. (Foto: (Bilde: Wikimedia Commons/public domain))

Å bevise at noe ikke finnes – for eksempel løsningen på en likning – er mye vanskeligere enn å bevise at noe faktisk finnes.

Tenk på en svart svane. Finnes det svarte svaner? Det er nok å finne en enkelt, så er spørsmålet besvart. Men å bevise at de ikke finnes? Det er alltids en bortgjemt bakevje der du har glemt å kikke …

Elliptiske Abel

Bakevjen av primtall var fortsatt uendelig stor. Flere kastet seg på, blant dem mannen som har gitt navnet til prisen som Andrew Wiles har fått – det norske matematikkgeniet Niels Henrik Abel.

– Abel publiserte ikke noe løsningsforslag, men arbeidet han gjorde med Fermats teorem minner litt om det han ble mer kjent for – arbeidet med femtegradslikninger, forteller Sletsjøe.

Abel arbeidet også med elliptiske funksjoner, de som gir klang til vårt lydbilde av harmoniske overtoner.

Dyp sammenheng

Så – på 1950-tallet – kom forvarselet om et gjennombrudd som skulle bane vei for en dypere forståelse av problemet.

To japanske matematikere, Yutaka Taniyama og Goro Shimura, oppdaget en dypere sammenheng mellom elliptiske kurver og et tilsynelatende helt annet område av matematikken – modulære former.

– De modulære formene har en spesiell symmetri. Hvis vi illustrerer dem med lydbølger, vil de være spesielt vakre og harmoniske, forklarer Sletsjøe.

Dette blir selvfølgelig forenklinger og mentale hjelpebilder for å få en anelse av presise påstander på et språk som få av oss mestrer – matematikk.

Elliptisk kurve + modulær form = sant?

Grunntone og overtoner: Øverst kan vi tenke oss at en gitarstreng svinger i hele lengden sin. Overtonene dannes når halve strengen eller tredjedels strengen eller fjerdedels strengen og så videre nedover svinger. Da dannes toner der frekvensen (tonehøyden) er det dobbelte, tredobbelte, firedobbelte og så videre. Dette kalles naturlige overtoner. De klinger harmonisk for øret, og du hører dem i naturtoneinstrumenter. (Foto: (Figur: Y Landman, Wikimedia Commons))
Grunntone og overtoner: Øverst kan vi tenke oss at en gitarstreng svinger i hele lengden sin. Overtonene dannes når halve strengen eller tredjedels strengen eller fjerdedels strengen og så videre nedover svinger. Da dannes toner der frekvensen (tonehøyden) er det dobbelte, tredobbelte, firedobbelte og så videre. Dette kalles naturlige overtoner. De klinger harmonisk for øret, og du hører dem i naturtoneinstrumenter. (Foto: (Figur: Y Landman, Wikimedia Commons))

Likevel – hvis du lager overtoner av antall løsninger til den elliptiske ligningen, vil altså den sammensatte lyden ha en vakker form som er et bilde på symmetrien i den modulære formen.

Med andre ord: For enhver elliptisk kurve kan vi telle løsninger – styrken til overtonene – som også svarer til en modulær form – den vakre sammensatte tonen.

Dette var påstanden til Taniyama og Shimura. Men hva har denne påstanden med Fermats gamle påstand – Fermats siste teorem – å gjøre?

Erstatt ett umulig bevis med et annet

Svaret fant tyskeren Gerhard Frey og amerikaneren Ken Ribet på 1980-tallet. De bidro på hver sin måte til å vise at de hvis den ene påstanden faller, så faller den andre.

Med andre ord: Bevis at alle elliptiske kurver svarer til bestemte modulære former, og du har bevist Fermats 380 år gamle teorem.

Problemet var bare at dette beviset virket like umulig å hale i land som Fermats opprinnelige agn. Likevel – det var en matematiker som hadde de riktige forutsetningene og den riktige motivasjonen.

Spesielt sammentreff

Andrew Wiles var bare en gutt på ti år da han første gang fikk se Fermats teorem i en matematikkbok på biblioteket. Siden var han oppslukt av teoremet som matematikere regnet for uløselig.

Mange år seinere, som voksen matematiker, hadde han fordypet seg i nettopp de teoriene som Taniyama og Shimura koblet sammen – elliptiske kurver og modulære former. Sammentreffet var helt spesielt.

Spontan applaus

Wiles tok fatt på oppgaven i 1986. Han holdt arbeidet hemmelig. Han var redd for at forsøket skulle skape så mye oppstuss at han ville miste konsentrasjonen, og at noen kanskje ville komme ham i forkjøpet.

Sju år seinere begynte ryktene å spre seg. Wiles skulle holde et foredrag på Cambridge-universitetet i 1993. Han hadde ikke annonsert noe på forhånd, men salen var fullpakket.

Da han avsluttet foredraget og konkluderte med at Fermats siste teorem var bevist, brøt salen ut i spontan applaus.

Åpenbaring

Andrew Wiles foran minnesmerket over Fermat i hans hjemby Beaumont-de-Lomagne. Bildet er fra 1995. (Foto: Klaus Barner, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license)
Andrew Wiles foran minnesmerket over Fermat i hans hjemby Beaumont-de-Lomagne. Bildet er fra 1995. (Foto: Klaus Barner, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license)

Men applausen skulle vise seg å komme for tidlig. Seinere det året fant en kollega en feil i beviset til Wiles.

Hadde han bommet på beviset? Det ville vært et ødeleggende nederlag for Wiles. Han tok fatt på arbeidet med å redde stumpene, sammen med en av sine tidligere studenter, Richard Taylor.

Etter ett år var de i mål. I 1995 kunne den endelige versjonen av beviset publiseres. Nå holdt det.

– Jeg hadde denne utrolige åpenbaringen. Det var det viktigste øyeblikket i mitt liv, fortalte Wiles med tårer i øynene i en BBC-dokumentar, ifølge den britiske forfatteren Alex Bellos.

Nye verktøy

Nå som Fermats teorem er bevist, hva kan det brukes til? Kan teoremet brukes til å lage modeller som beskriver universet?

– Fermats siste teorem er i seg selv mest et kuriosum, svarer Sletsjøe.

– Likevel, alle forsøkene på å bevise teoremet gjennom 380 år har gitt matematikerne nye verktøy. Uten disse verktøyene kunne aldri teoremet vært bevist. Fermat hadde ikke en sjanse, fortsetter Sletsjøe.

De nye verktøyene har også gitt mange andre resultater i matematikken.

Med Abel i nettbanken

Elliptiske kurver er et godt eksempel. Niels Henrik Abel introduserte dem, og andre matematikere utviklet teorien gjennom de neste to hundre årene.

De elliptiske kurvene er en viktig bærebjelke i beviset til Wiles. Samtidig er de også den viktigste brikken i kryptering av data mellom deg og nettbanken.

– Selve det matematiske beviset som Wiles gjennomførte, er utilgjengelig hvis du ikke mestrer matematikken. Men det vakre i elliptiske kurver og modulære former kan alle få et innblikk i – og høre harmoniene av, sier Sletsjøe.