John Wallis´formel for å beregne pi fra 1655 falt ned i fanget til fysikere som lekte med hydrogenatomet.

Fant gammel pi-formel i kvantefysikken

Et vidunderlig møte mellom matematikk og fysikk: Langt nede i kvantemekanikkens mikroskopiske hemmeligheter dukket det opp en 360 år gammel formel for å beregne pi.

12.12 2015 05:00

Kvantemekanikken ble utviklet i de første tiårene av 1900-tallet, 250 år etter at matematikeren John Wallis lanserte sin egen helt spesielle formel for å beregne pi.

Det har ikke vært noen grunn til å tro at de to har noe med hverandre å gjøre. Men nylig ble det oppdaget en pussig sammenheng mellom elektronet i hydrogenatomet og den gamle pi-formelen.

– Naturen har holdt dette hemmelig de siste 80 årene. Jeg er glad vi avslørte det, sier en av oppdagerne, matematikeren Tamar Friedmann.

3,141592653589793238462643383279

Pi (π) har frustrert og fascinert matematikere og vitenskapsfolk i uminnelige tider.

De fleste av oss synes det er greit å si at pi = 3,14. Og det holder lenge til hverdagslige beregninger av omkrets og areal av sirkler. Muligens strekker vi oss til 3,14159, og uansett hvor lenge vi holder på, så blir vi aldri ferdige. Pi fortsetter med desimal på desimal i det uendelige.

Den lengste pi-en hittil har over 13 billioner desimaler.

Matematikere i Det gamle Egypt skal ha brukt 22/7, som tilsvarer omtrent 3,142857. Babylonske skrifter fra nesten 2000 f.Kr. forteller om pi som 25/8 (3,125). En annen egyptisk variant var (16/9)2, som er cirka 3,1605.

Kryptologen Wallis

Siden den gang har matematikken funnet stadig mer kompliserte og mer nøyaktige beregninger av pi. På veien fra Hellas til dagens superdatamaskinproduserte pi-er gjør vi en liten stopp i 1655.

Da lanserte matematikeren John Wallis denne formelen for å beregne pi:

Dette er bare begynnelsen. Meningen er at den skal fortsette slik i det uendelige.

Wallis jobbet med kryptologi for det engelske parlamentet og senere også for hoffet til Karl II. Men han er mest kjent for sine bidrag til matematikken i tiårene før en viss Isaac Newton begynte å herje. Wallis er for eksempel mannen som introduserte tegnet ∞ for uendelig.

Men tilbake til pi-formelen. Du ser systemet? Alle partall ganges med seg selv og deles på produktet av oddetallene som befinner seg rett foran og like bak på tallinjen.

Hvis vi slår sammen disse brøkene, ser vi at telleren over streken alltid er én mer enn nevneren under streken:

Vakkert, ikke sant? Dette gir oss en lang rekke med tall som er litt større enn 1, men de vil komme nærmere og nærmere 1 og etter hvert utgjøre veldig liten forskjell.

Dit vi har kommet her er pi bare 3,0677, men den vil krype oppover for hvert nye ledd vi legger til.

Dette kan også skrives slik:

Du trenger ikke prøve å forstå den, bare fest den bak øret eller legg den i bakhodet. Resten av hodet trenger du når vi skal ta neste skritt. Inn i kvantefysikken.

Ut av ingenting – nesten


John Wallis malt av Godfrey Kneller.

Kvantemekanikk er, ifølge Wikipedia, den grenen av fysikken som beskriver atomer og molekyler og hvordan disse er bygget opp.

Der, i studiene av de aller minste partiklene, dukket den 360 år gamle Wallis nylig opp. Det var der partikkelfysiker Carl Hagen og matematiker Tamar Friedmann fra Universitetet i Rochester nordvest i staten New York, så et velkjent mønster dukke opp mot slutten av noen lange utgreiinger om hydrogenatomet.

– Vi lette ikke etter pi-formelen til Wallis. Den falt ned i fanget vårt, sier Hagen i en pressemelding.

Det var han som først ble nysgjerrig på hva som skjedde da studentene hans brynet seg på oppgaven han hadde gitt dem i kvantemekanikk. Derfor hentet han inn en kollega. Han trengte en matematiker.

– Det var en komplett overraskelse. Jeg hoppet opp og ned når vi fikk Wallis-formelen ut av ligninger for hydrogenatomet, sier Friedmann i samme pressemelding.

Hydrogenatomet

Først et lite kvantesprang tilbake. Men hva var det egentlig Hagen og studentene hans holdt på med?

Det bringer oss til det lille, søte hydrogenatomet. Det har bare ett proton og ett elektron og er derfor det første grunnstoffet i det periodiske systemet.

Protonet er positivt ladet og befinner seg i atomkjernen. Elektronet er negativt ladet og befinner seg et sted utenfor den samme kjernen. De to tiltrekker hverandre gjensidig på grunn av elektromagnetisme.

– Elektronet blir holdt på plass av protonet, som kan være en million ganger tyngre, sier fysikkprofessor Are Raklev ved Universitetet i Oslo.

Og nå må du legge bort bildet fra lærebøkene på ungdomsskolen av det negativt ladete elektronet i bane rundt den positive atomkjernen, som jorda rundt sola. Du må heller venne deg til tanken om at det ikke er mulig å plassere elektronet på et bestemt punkt i atomet. I beste fall går det an å angi omtrent hvor et elektron kanskje, muligens, hvis du har flaks, befinner seg.

– Vi snakker ikke om baner og avstand. Vi snakker om energier, forklarer Raklev til forskning.no.

Energinivåer

Kvantefysikere spør seg heller hvilket energinivå elektronet befinner seg på.

Det laveste, altså det mest negative, energinivået er nærmest kjernen. Det er fordi det trengs mest energi for å hente elektronet ut fra atomet derfra.

Og omvendt. Når veien blir lang fra kjerne til elektron, skal det mindre energi til for å hente ut elektronet.

Disse energinivåene utgjør ikke en jevn strøm utover fra atomkjernen. Det virker kanskje litt rart, men det er bare visse energinivåer som er mulig – eller «tillatt» som fysikerne sier.

– Elektroner har en potensiell energi. Og det er bare noen energier som er tillatt, understreker Raklev.


Professor Are Raklev ved Fysisk institutt ved Universitetet i Oslo.

Det laveste energinivået er minus 13,6 elektronvolt. Det neste er minus 3,4. Elektronet kan altså ikke befinne seg mellom disse; det må være enten eller. Slik fortsetter det utover. Energien blir større (eller mindre negativ) når elektronet er lenger fra protonet. Langt nok ut nærmer det seg null.

Avstanden mellom energinivåene blir mindre og mindre. Men for hvert nye energinivå blir avstanden større målt i nanometer.

Og alt dette kan fysikerne måle helt eksakt. For hydrogenatomet, vel å merke.

– For hydrogenatomet kan vi skrive ned ligninger og regne ut det eksakte svaret. For andre atomer må vi bruke approksimasjoner, sier Raklev.

Approksimasjoner er forenklede beregninger der man utelater noen faktorer som kompliserer det hele.

– Så fort du har to elektroner så klarer du ikke å sette opp formler med eksakte beregninger. Det blir for komplisert, sier fysikeren.

Snudd på hodet

Nå begynner vi endelig å nærme oss det pussige møtet med Wallis.

Det er altså bare i det enkle og ukompliserte hydrogenatomet at det er mulig å beregne nøyaktige energinivåer på elektronene. Alle andre atomer, alle de andre med to eller flere elektroner, lar seg ikke behandle slik.

– Det betyr ikke at ingen aner noe om energinivåer rundt atomkjerner med flere protoner, men vi kan ikke skrive ned et eksakt uttrykk for disse, sier Raklev.

Derfor har fysikerne beregninger og lange, vanskelig formler, approksimasjoner, for å beregne energinivåene i andre atomer enn hydrogenatomet.

Og nå kommer vi til det Hagen og studentene hans egentlig holdt på med.

– Det de har gjort er å snu det på hodet. De har brukt approksimasjonene, som vanligvis er forbeholdt de mer kompliserte atomene, på hydrogenatomet, forklarer Raklev.

Det kan jo virke litt rart, siden Hagen helt sikkert er klar over at energinivåene i hydrogenatomet kan beregnes eksakt. Men noe skal jo studentene holde på med.

Svaret er 1

Oppgaven var omtrent slik:

De kjenner de eksakte energinivåene for hydrogenatomet.

De vet at approksimasjonene for større atomer blir riktigere jo høyere energinivå de kommer opp på.

De vet også at når energinivåene blir høye nok, så vil approksimasjonene stemme overens med de eksakte målingene.

– Når du vet hva svaret er, kan du sjekke hvor godt approksimasjonene virker, sier Raklev som et forsvar for det som for utenforstående kan se ut som en meningsløs oppgave.

I dette tilfellet visste de at svaret skulle bli 1. Fordi når energinivåene blir høye nok, vil de vise det samme som de eksakte målingene.

– Når energinivået er høyt nok, er dette uttrykket nødt til å bli 1. De vet at forholdet skal være 1 for elektroner som er langt fra kjernen.

For alle tall blir jo 1 når du deler dem på seg selv.

Når du vet at svaret blir 1, kan du sette opp en ligning og regne videre. Formlene for å beregne energinivåene er så kompliserte at vi nøyer oss med å skrive det slik:

Og for å gjøre en lang historie om ut- og omregninger kort, så satt Hagen og Friedmann igjen med denne:

Da kan du hente fram fra bak øret eller fra bakhodet formelen til Wallis. Bortsett fra at n-er har blitt j-er, og at de forteller på litt ulikt vis at vi skal holde på i det uendelige, så kan du sikkert kjenne den igjen. Ja, det er akkurat den samme.

Ikke viktig – men skikkelig gøy

Dette er ikke et «viktig» funn. Det vil ikke endre vitenskapshistorien. Det er ikke engang overraskende at pi dukker opp i disse utregningene.

– Tilnærmingen de har brukt, har nemlig pi inni seg. Uttrykket inneholder det vi kaller gammafunksjonen, og gamma gir kvadratroten av pi, sier Raklev.

Du trenger ikke forstå hva gammafunksjonen er. Det holder å vite at en slik formel alltid kan få pi ut i den andre enden.

Når kvantefysikere og matematikere verden over likevel feirer den lille unyttige oppdagelsen, er det fordi det likevel er et element av noe uventet.

– Det som er overraskende, er det var akkurat pi-formelen til Wallis som dukket opp.

– Og det er overraskende fordi Wallis gjorde det på en helt annen måte. Metoden til Wallis har ikke noe med disse beregningen å gjøre i det hele tatt, sier Raklev og forklarer hvorfor mangelen på viktighet ikke demper feiringen i fagmiljøet:

– Vi er alle såpass nerder at vi synes dette er morsomt!

Det synes også matematikeren Friedmann, som når han summet seg etter å ha hoppet opp og ned, forklarer hvorfor:

­– Det spesielle er at formelen vår får frem en vakker forbindelse mellom fysikk og matematikk. Jeg synes det er fascinerende at en rent matematisk formel fra det 17. århundre beskriver et fysisk system som ble oppdaget 300 år senere, sier han i pressemeldingen.

Artikkelen er oppdatert 26.5.2016

Referanse:

Friedmann og Hagen: Quantum mechanical derivation of the Wallis formula for π. Journal of Mathematical Physics, november 2015, doi: 10.1063/1.4930800.

forskning.no ønsker en åpen og saklig debatt. Vi forbeholder oss retten til å fjerne innlegg. Du må bruke ditt fulle navn. Vis regler

Regler for leserkommentarer på forskning.no:

  1. Diskuter sak, ikke person. Det er ikke tillatt å trakassere navngitte personer eller andre debattanter.
  2. Rasistiske og andre diskriminerende innlegg vil bli fjernet.
  3. Vi anbefaler at du skriver kort.
  4. forskning.no har redaktøraransvar for alt som publiseres, men den enkelte kommentator er også personlig ansvarlig for innholdet i innlegget.
  5. Publisering av opphavsrettsbeskyttet materiale er ikke tillatt. Du kan sitere korte utdrag av andre tekster eller artikler, men husk kildehenvisning.
  6. Alle innlegg blir kontrollert etter at de er lagt inn.
  7. Du kan selv melde inn innlegg som du mener er upassende.
  8. Du må bruke fullt navn. Anonyme innlegg vil bli slettet.

Annonse

Pi

π med 200 desimaler:

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196

Omkrets og areal

π x d Omkretsen av en sirkel er diameter ganget med pi.

π x r2 Arealet er pi ganget med radius ganget med radius.

π x r2 x h Volumet av sylindere får du ved å gange arealet på høyden.

(Kilde: PI ≠ 4)

Huskeregle:

Mannen i månen kan smile og le.

Ringen rundt hodet er π ganger d.

Men vil du se fjeset til mannen,

må du ta π ganger r i annen.

John Wallis

Født i 1616. Død i 1703

Engelsk matematiker og teolog, en av grunnleggerne av the Royal Society, professor i matematikk i Oxford 1649, senere hoffprest hos Karl II.

Hans matematiske arbeider bidrog til å skape grunnlaget for differensialregningen. I hans Arithmetica infinitorum (1655) studerer han uendelige rekker og gir sitt kjente uttrykk for tallet pi som et uendelig produkt.

Blant andre matematiske arbeider kan nevnes Mathesis universalis (1657) og Treatise on Algebra (1685), hvor han utvider det algebraiske tegnspråk, innfører negative eksponenter og et spesielt uendelighetstegn.

Asteroiden «31982 Johnwallis» er oppkalt etter ham.

(Kilde: Store norske leksikon og Wikipedia)

Hva er kvantefysikk?

– Kvantefysikk er naturlovene som styrer de minste bitene i naturen. Hvis vi vil regne ut bremselengden til en bil, bruker vi Newtons lover for mekanikk og gravitasjon, og friksjon. Vil vi regne ut hvordan elementærpartikler og atomer virker, trenger vi kvantefysikken, sier fysiker Bjørn Samset.

- Den kan virke overraskende, fordi vi ikke har så mye erfaring med den. En kvantepartikkel kan for eksempel finne på å hoppe rett gjennom en solid vegg. Mer nøyaktig er kvantefysikk den matematiske beskrivelsen av oppførselen vi har målt at elementærpartiklene har, sier Samset.

Hentet fra intervju med Bjørn Samset i «Kvantefysikk for dummies» i Teknisk Ukeblad

Saker fra våre eiere

Nasjonalforeningen for folkehelsen

Tidligere har det vært vanskelig å vite hvem som er i faresonen for akutt hjerteinfarkt. Nå kan blodprøver gi svaret på kort tid. 

Høgskolen i Oslo og Akershus

Er 0,999… med uendelig mange desimaler mindre enn 1 eller lik 1? Både folk flest og lærerstudenter svarer typisk det samme.

Universitetet i Oslo

Behandlingen er direkte rettet mot å redusere selvskading og selvmordstanker. Og den gir gode resultater.

Saker fra våre eiere

Universitetet i Oslo

For noen barn er det ekstra krevende med rop og skrik i skolegården, bøker som smelles igjen og stolbein som skraper mot gulvet.

NTNU

De over 65 år har like god effekt av operasjon for skiveprolaps i korsryggen sammenlignet med yngre pasienter.

Nordlandsforskning

Selskapet kan skyve svakstilte ut av utleiemarkedet, men også skape nye turistmål. Nå skal forskere finne ut hvilke konsekvenser Airbnb får i Norge.

Forskeren forteller:

Når ungdom presses til å drive med idrett, og voksne bestemmer hvordan de skal gjør det, da blir idrettsungdom lei. Men du kan unngå at barna dine mistrives, blir stresset og presterer dårlig på sikt.

Enkle grep kan føre til markante livsstilsendringer og få folk til å leve sunnere, ifølge dansk forskning.

I år er det 500 år siden reformasjonen begynte. Den spredte seg svært raskt. Martin Luther ante ikke hvordan hans tanker skulle forandre Europa.

Gjennom mange hundre år forsøkte det norske samfunnet å stanse forbryteres vei til Paradiset.