En matematisk oppdagelsesreisende

I dag får professor Lennart Carleson Abelprisen for 2006 for sitt "dype og grunnleggende bidrag innenfor harmonisk analyse og til teorien for glatte dynamiske systemer."
23.5 2006 05:00

“Carleson er alltid langt foran de store massene. Han er kun interessert i de vanskeligste og dypeste problemene. I det øyeblikket problemet er løst lar han alle andre få invadere det kongeriket han har oppdaget. Selv reiser han videre til enda villere og fjernere land i det vitenskapelige univers.”

Slik beskriver Abelkomitéen årets Abelprisvinner, den 78 år gamle matematikk-professoren Lennart Carleson fra Stockholm. Tirsdag får han Abelprisen for 2006 for sitt “dype og grunnleggende bidrag innenfor harmonisk analyse og til teorien for glatte dynamiske systemer.”

To typer matematikere

Matematikere kan deles inn i to kategorier, teoribyggere og problemløsere. De fleste har litt av begge deler i seg, men noen er mer det ene enn det andre.

Carleson passer godt inn i kategorien “problemløser”. Han er kjent for å ha tatt tak i gamle, vanskelige problemer som han så har klart å løse, til dels ved hjelp av uhyre kompliserte metoder.

Men om hans arbeider er teoretiske, så er problemstillingene nokså dagligdagse.

To av hans hovedresultater dreier seg om konvergens av Fourier-rekker og om eksistens av en kaotisk attraktor for Hénon-avbildningen. Begge problemene lar seg illustrere med fenomener vi erfarer hver eneste dag, lydbølger og værvarsling.

Lydbølger

Når trommehinnen vår settes i svingninger oppfatter vi det som lyd. Rene toner, slik som lyden av en stemmegaffel, gir opphav til enkle harmoniske svingninger, beskrevet ved hjelp av trigonometriske funksjoner.

Mer kompliserte lyder, som for eksempel lyden fra A-strengen på en fiolin, beskrives av mye mer komplekse funksjoner. Disse framkommer ved å legge sammen mange enkeltsvingninger med frekvenser som er heltallige multipla av grunntonen, det som i musikk kalles overtoner.


“Abelprisen”

Grunntonen oppstår når fiolinstrengen vibrerer i hele sin lengde. Første overtone oppstår når strengen settes i en dobbelt vibrering, midtpunktet står i ro, mens de to halvdelene svinger i motsatt fase, den ene går opp når den andre går ned. Tredje overtone oppstår når strengen får to punkter som står i ro og tre bukter som svinger i motfase, to opp og en ned eller motsatt. Og fire, og fem og så videre.

I virkeligheten gjør strengen alle disse vibrasjonene samtidig, med varierende amplitude, eller utslag. Det er dette overtonespekteret; klangfargen, som gjør at vi kan skille en fiolin fra en fløyte eller en trompet.

Det motsatte problemet

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), siden Nikolai Luisin (1883-1950) og Lennart Carleson var i likhet med et utall andre matematikere opptatt av det motsatte problemet:

Gitt en lyd, hvordan kan vi skrive den som en sammensetning av enkle stemmegaffel-toner? Er det i det hele tatt mulig at enhver lyd kan splittes opp i sine enkelte bestanddeler? Kan et løvebrøl etterlignes dersom vi har et kjempestort orkester av stemmegafler i alle tenkelige størrelser?

I sitt arbeid fra 1807 ga Fourier oss oppskriften på hvordan dette i teorien må gjøres. Men han klarte ikke å bevise at når prosessen er gjennomført så kommer vi fram til det riktige svaret.


“Lennart Carleson”

Carlesons teorem

Fagordet for dette er konvergens. Lusin presiserte i 1913 Fouriers problem i et mer moderne matematisk språk, et språk Fourier selvfølgelig ikke rådde over. På folkemunne fikk problemet sitt navn etter Lusin. Lusins formodning ble det kalt, altså en matematisk setning som vår intuisjon sier er sann, men som ikke er bevist.

På tross av iherdige forsøk var det ingen som klarte å bevise formodningen før Carleson i 1966 brøt gjennom og omgjorde Lusins formodning til Carlesons teorem om “konvergens nesten overalt av Fourier-rekker til kvadratisk integrerbare funksjoner”.

Beviset for Carlesons konvergens-resultat er meget komplisert. Komitéen sier i sin begrunnelse for tildelingen til Carleson: “Beviset for dette resultatet konvergens-teoremet er så vanskelig at det i over 30 år sto mer eller mindre isolert fra resten av den harmoniske analysen. Det er først i det siste tiåret at matematikere har forstått den generelle teorien for operatorer som denne satsen er en del av, og dermed har kunnet bruke Carlesons fruktbare ideer i sine egne arbeider.”

Matematikk og politikk

Den omtalte Joseph Fourier var for øvrig en meget allsidig mann med interesse både for matematikk og politikk. Han var i det første kullet av studenter ved École Normale i Paris og lærte matematikk av datidens mest berømte matematikere.


 

Ved Napoleons felttog til Egypt var han med som vitenskapelig rådgiver og hans beskrivelse av Egypts geografi og historie fra denne tiden regnes som et gjennombrudd i egyptologien.

I 1807 publiserte han et arbeid om varmeledning i faste stoffer. I denne avhandlingen dukker problemet om konvergens av Fourier-rekker opp.

Fouriers liv etter denne avhandlingen var preget av hans noe ambivalente forhold til Napoleon og at 1807-avhandlingen hans på mange måter var veldig kontroversiell. Blant annet ble han beskyldt for å ha stjålet hele teorien fra en kollega.

Fourier fikk maktposisjoner og innflytelse, men levde i konstant fare for å falle i unåde. Han var berømt, men samtidig omstridt blant samtidens matematikere.

Niels Henrik Abel traff Fourier under sitt opphold i Paris i 1826, og det var Fourier, i kraft av å være sekretær for Akademiet, som mottok Abels Pariseravhandling og la den fram for Akademiet.

Dette Abels mesterverk forsvant siden og dukket først opp igjen lenge etter Abels død.

Værvarsling

Moderne værvarsling er nærmest synonymt med begrepet dynamiske systemer.

Gjennom observasjoner kan vi på et gitt tidspunkt og på mange forskjellige steder bestemme en rekke viktige størrelser, som lufttrykk, vindretning og temperatur. Med dette utgangspunktet bestemmer de fysiske lovene hvordan de samme parameterne vil se ut et tidels sekund etterpå, og et tidels sekund etter der igjen, osv.

Når vi gjentar denne prosessen veldig mange ganger nærmer vi oss et værvarsel for neste dag.

Men usikkerheten er selvfølgelig stor. Siden vi gjentar de samme beregningene et uhyrlig stort antall ganger vil en liten unøyaktighet i de opprinnelige dataene kunne utvikle seg til dramatisk store avvik etter hvert.

Sommerfugleffekten

Dette har blitt kalt “Sommerfugleffekten” og henspeiler på forestillingen om at dersom en sommerfugl i Brasil slår et ekstra slag med vingene, så kan den ytterste konsekvens av dette være at tornadoene i Texas får et helt annet forløp.

Men man kan også observere at litt ulikt utgangspunkt ikke betyr noe. Ligger det et stabilt høytrykk over Skandinavia en periode i juli, ja så klarer ikke engang et helt kompani av sommerfugler å endre på det.

Denne forskjellen kan også illustreres med to baller, en liten og en stor.

Dersom vi legger den lille ballen inni den store er det nokså likegyldig hvor den plasseres, til slutt vil den havne nederst, i det stabile likevektspunktet. Dersom vi legger den lille ballen oppå den store og prøver å plassere den nøyaktig på toppen vil små avvik ha veldig store konsekvenser. Hvis vi er ekstremt stødige på hånda kan vi kanskje klare å få ballen til å ligge på toppen, på det labile likevektspunktet. Men mest sannsynlig vil ballen trille ned.

Hénon-avbildningen

Det er imidlertid nesten umulig å si hvilken vei den triller ned. Hvis vi forsøker å legge ballen på samme punkt to ganger på rad kan en brøkdel av en centimeter unøyaktighet føre til at ballen triller i en ny retning. Bunnen av den store ballen og det stabile høytrykket har fått navnet attraktorer (tiltrekkere) og dermed er vi på vei mot en beskrivelse av Carlesons resultat om eksistensen av en kaotisk attraktor for Hénon-avbildningen.

Hénon-avbildningen er et enkelt beskrevet dynamisk system, gitt ved en avbildning fra planet inn i seg selv.


 


Vi starter i ett punkt og bruker avbildningen til å finne et nytt punkt. Så gjør vi den samme prosessen med det ny punktet og får et tredje punkt. Slik fortsetter vi til vi har tegnet inn titusener av punkter.

Etter hvert tegner det seg et mønster, et buet kurve. Dersom vi zoomer inn på et punkt på kurven ser vi at kurven ikke består av en enkelt strek, men derimot 3-4 kurver som ligger ved siden av hverandre.

Zoomer vi videre inn ser vi at det samme gjentar seg, stadig lengre innover i bildet. Kurven har det vi kaller en fraktal natur. Den “kurven” vi har tegnet er Hénon-avbildningens kaotiske attraktor. Den er en attraktor fordi gjentatt bruk av Hénon-avbildningen med et nesten vilkårlig startpunkt ser ut til å bringe oss inn i mengden.

På den annen side oppfører det dynamiske systemet seg kaotisk inn i attraktoren, avbildningen hopper hit og dit, tilsynelatende uten noe fast system.

En datamaskin kan lett gjøre de (tusenvis av) beregninger som trengs for å visualisere at Hénon-avbildningen har en kaotisk attraktor, men maskinen kan aldri gi et formelt og teoretisk bevis for eksistensen.

Første bevis for kaotisk attraktor

Carleson viste i 1991, sammen med sin landsmann Michael Benedicks, at Hénon-avbildningen har en kaotisk attraktor. Dette var faktisk det første beviset som ble gitt for eksistens av en kaotisk attraktor. Hénon-avbildningen er en forenklet beskrivelse av Lorentz-systemet som vi beskrev innledningsvis og som ligger til grunn for moderne værvarsling.

Carlesons resultat er rent teoretisk av natur.

Det uttaler seg om eksistensen av en kaotisk attraktor. Resultatet i seg selv påvirker ikke værvarslingen eller andre anvendelser av dynamiske systemer. Men det sier at fundamentet for anvendelsene står støtt som fjell. Det presenterer også helt nye metoder for å behandle slike problemer og det gir matematikere en mengde gode ideer om hvordan tilsvarende utfordringer kan angripes.

forskning.no ønsker en åpen og saklig debatt. Vi forbeholder oss retten til å fjerne innlegg.

Annonse

Disse vesenene var blant de aller første dyreartene og dominerte  verdenshavene i sin storhetstid. 

Det tar lang tid å lære å lese. Når læreren kjenner den enkelte elevs ferdigheter og utvikling, får vi den beste leseopplæringen.